Caracterización geométrica de la parábola

En la sección Lugares geométricos se muestra cómo caracterizar una parábola geométricamente, a través de la solución de un ejemplo. Ahora vamos a generalizar la solución del ejemplo resuelto en esa sección.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Elementos de la parábola
3 Lado recto
4 Formas de trazo a partir de la definición

Ejemplo 1

Un punto $P(x,y)$ se mueve sobre el plano de manera que su distancia al punto $F(h, k+p)$ sea siempre la misma que la distancia a a la recta: $\ell:\hspace{0,25em}y - k + p = 0$ . Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.

Algebraicamente, las condiciones del problema son:

$\begin{eqnarray*} |\segm{PF}| &=& |\segm{PM}|\\ \sqrt{(x - h)^2 + (y - k - p)^2} &=& \sqrt{(x - x)^2 + (y - k + p)^2}\\ (x - h)^2 + (y - k - p)^2 &=& (x - x)^2 + (y - k + p)^2 \\ \end{eqnarray*}$

Después de simplificar obtenemos:

$\begin{equation*} (x - h)^2 = 4\,p(y - k) \end{equation*}$

Esta es la ecuación en su forma ordinaria que representa al lugar geométrico. Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

Ahora que hemos deducido la ecuación de la parábola en forma ordinaria, vamos a hacer un paréntesis para tener una herramienta para recordar hacia dónde abre, solamente observando la ecuación. A la ecuación:

$\begin{equation*} x^2 = \textcolor{red}{+}4\,p\textcolor{red}{y} \end{equation*}$

le corresponde una parábola como la siguiente:

Podemos recordar la ecuación a partir de la parábola si recordamos que la parábola abre en el sentido \textcolor{red}{positivo} ( $p>0$ ) del eje \textcolor{red}{ $y$ }.

$\begin{equation*} x^2 = \textcolor{red}{+}4\,|p|\textcolor{red}{y} \end{equation*}$

De manera semejante, podemos leer las gráficas y relacionarlas con sus ecuaciones respectivas:

Elementos de la parábola

El siguiente gráfico indica los elementos de la parábola.

Lado recto

Es el segmento de recta con extremos sobre la parábola y que es perpendicular al eje y pasa por el foco.

Como la distancia entre el vértice $V(h, k)$ y foco $F(h, k + p)$ es $|p|$ , entonces la distancia entre el foco y la directriz es $2\,|p|$ . Por la definición de parábola, esa misma distancia es la que hay entre cualquier extremo del lado recto y la directriz. Pero esa es la misma distancia de cualquier extremo del lado recto al foco, que representa el punto medio del lado recto. Por eso, la longitud del lado recto es $4\,|p|$ . Entonces, los extremos del lado recto son: $M(h + 2|p|, k + p)$ y $N(h - 2\,|p|, k + p)$ . Esto es así porque para encontrar un extremo nos trasladamos hacia la derecha $2|p|$ unidades y para encontrar el otro extremo nos recorremos esa misma distancia, pero hacia la izquierda.

Observa que hemos escrito $|p|$ en lugar de $p$ , porque $p$ se considera como una distancia dirigida, es decir, puede ser negativa.

Nota: En esta discusión se ha considerado solamente la parábola vertical que abre hacia arriba. De manera semejante podemos desarrollar una discusión para la parábola vertical que abre hacia abajo y las parábolas horizontales que abren hacia la derecha y hacia la izquierda (respectivamente).

Formas de trazo a partir de la definición

Para dibujar la parábola con regla y compás podemos utilizar uno de varios métodos conocidos. Aquí solamente revisaremos uno para que puedas realizar el trazo fácilmente.

Para esto vamos a requerir una escuadra con un ángulo recto (cualquiera) y una cuerda. La de un zapato estará bien para el trazo.

Primero debemos definir dónde estarán el foco de la parábola (el punto $F$ ) y la directriz. Trázalos en tu cuaderno. El foco no debe estar sobre la directriz.
Si deseas, aunque no se requiere, también puedes trazar el eje de la parábola como una recta perpendicular a la directriz que pase por el foco.
Ahora coloca una orilla de la escuadra sobre la directriz y fija un extremo de la cuerda en el foco.
Mide la distancia desde el foco hasta la directriz usando la cuerda. Recuerda que debe ser perpendicular a la directriz.
Fija el otro extremo de la cuerda a un punto sobre la escuadra.
Con tu lápiz, listo para dibujar la parábola, coloca la punta del lápiz tensando la cuerda contra la orilla de la escuadra, que deberá estar alejada una distancia igual a la distancia entre el foco y la directriz ( $p$ ) para iniciar el trazo.

Conforme vayas moviendo la escuadra, el lápiz debe ir trazando una parábola. Se supone que el lápiz mantiene la cuerda bien tensa y que los extremos de ésta no se mueven, sino que están fijos, uno sobre el foco de la parábola y el otro en un punto de la escuadra.

La siguiente figura ilustra la situación:

En este caso la longitud de la cuerda es igual a la longitud del lado de la escuadra sobre el cual se dibuja la parábola. Tú debes identificar la forma de la parábola al ver la ecuación. Así será más fácil resolver los problemas de esta unidad.

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Caracterización geométrica de la parábola

Aprenderás la caracterización geométrica de la parábola.

Ejemplo 1

Elementos de la parábola

Lado recto

Formas de trazo a partir de la definición