Caracterización geométrica de la hipérbola

Ahora vamos a centrar caracterizar geométricamente a la hipérbola. La hipérbola es la única de las cónicas que requiere de las dos ramas del cono para poderla obtener en un corte. Las demás cónicas se obtienen con una sola de sus ramas.

La hipérbola se define como sigue:

Hipérbola

Es el conjunto de todos los puntos $P$ en el plano, tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos $F$ y $F'$ llamados focos, es igual a una constante $2\,a$ .

Compara esta definición con la definición de Elipse.

Algebraicamente, tenemos: $\left\vert|\overline{F'P}| - |\overline{FP}|\right\vert = 2\,a$ , y geométricamente, la situación es:

Los puntos $V(a,0)$ y $V'(-a,0)$ son los vértices de la hiperbola. De la figura se hace evidente que la distancia entre los focos es mayor que la distancia entre los vértices.

Dado que $c > a$ , ahora esperamos que $c^2 = a^2 + b^2$ .

Ejemplo 1

Un punto $P(x,y)$ se mueve de tal forma que la diferencia de su distancia a los puntos $F(0,c)$ y $F'(0,-c)$ siempre es constante. Es decir: $2\,a = \left\vert|\overline{F'P}| - |\overline{FP}|\right\vert$ . Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.

Definimos $P(x,y)$

como un punto que está sobre la hipérbola.
La condición algenraica que se mencionó antes puede reescribirse como:

$\begin{equation*} \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2\,a \end{equation*}$

Si el punto satisface la ecuación anterior, entonces está sobre la hipérbola.
Elevando alcuadrado ambos lados de la ecuación obtenemos:

$\begin{equation*} (x + c)^2 + y^2 = 4\,a^2 + 4\,a\,\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2 \end{equation*}$

que puede reducirse a:

$\begin{equation*} c\,x - a^2 = a\,\sqrt{(x - c)^2 + y^2} \end{equation*}$

Volvemos a elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad para obtener:

$\begin{equation*} \left(c^2 - a^2\right)\,x^2 - a^2y^2 = a^2\,\left(c^2 - a^2\right) \end{equation*}$

Haciendo $b^2 = c^2 - a^2$ , obtenemos:

$\begin{equation*} b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \end{equation*}$

Lo cual puede simplificarse a:

$\begin{equation*} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

Esta es la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria.

Observa que en las ecuaciones de la circunferencia, la elipse y ahora la hipérbola, tanto $x$ como $y$ aparecen elevadas al cuadrado. Geométricamente esto ocasiona que estas cónicas presenten simetría con respecto a sus ejes.

En el ejemplo previo la hipérbola es horizontal porque los focos están sobre una recta horizontal. Si los focos estuvieran sobre una recta vertical, diremos que la hipérbola es vertical y entonces obtendremos la ecuación:

$\begin{equation*} -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

Observa que solamente ahora el signo negativo está en el primer término de la ecuación y que, contrario a lo que pasaba con la elipse, los coeficientes $a^2$ y $b^2$ , no cambian de lugar cuando la cónica cambia de horizontal a vertical.

Elementos asociados a la hipérbola

Si de la ecuación de la hipérbola despejamos $y$ obtenemos:

$\begin{equation*} y = \pm\frac{b}{a}\,\sqrt{x^2 - a^2} \end{equation*}$

Cuando los valores de $x$ crecen mucho, el valor de $a^2$ se va haciendo cada vez más insignificante, de manera que la hipérbola se acerca mucho a la recta:

$\begin{equation*} y = \pm\frac{b}{a}\,x%\sqrt{x^2 - a^2} \end{equation*}$

Observa que cuando $x$ crece mucho, $\sqrt{x^2 - a^2}$ se aproxima mucho a $x$ , porque el valor de $a^2$ pierde importancia ante el tamaño que tiene $x$ . Entonces, las rectas: $y = (b/a)\,x$ y $y = -(b/a)\,x$ son las asíntotas de la hipérbola. Otros elementos asociados a la hipérbola son:

Centro de la hipérbola: es el punto medio de los focos.
Eje transverso: Es el segmento de recta cuyos extremos son los vértices de la hipérbola.
Eje conjugado: Es el segmento de recta que es perpendicular al eje transverso y pasa por el el centro de la hipérbola y su longitud es $2\,b$ .
Relación entre coeficientes: $a^2 + b^2 = c^2$ .
Excentricidad: $e = \frac{c}{a}$ .