Ahora vamos a centrar nuestra atención en la elipse. Esta figura geométrica tiene la misma esencia que la circunferencia, pero ésta está dilatada en uno de sus ejes. Recuerda la definición de circunferencia. Sus puntos equidistan del centro.
En el siguiente ejemplo se deduce la ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria.
Contenido
Ejemplo 1
Un punto se mueve de tal forma que la suma de su distancia a los puntos
y
siempre
es constante. Es decir: . Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.
Observa que hemos definido dos distancias: y
. La primera va desde el punto
hasta la intersección de la elipse con el eje vertical. Esta misma distancia es la que mide desde el centro de la elipse hasta su intersección con el eje horizontal (a este punto lo llamaremos
).
Para ver que esto es así considera lo siguiente:
- Sea
la distancia desde el origen hasta
.
- Desde el punto
hasta el origen, después hasta
, mide
.
- Le sumamos la distancia desde
hasta el punto
, que es igual a
.
- Obtenemos:
.
- Pero esta distancia es igual a
.
- Luego,
, que nos indica:
.
Al punto donde la elipse se intersecta con el eje vertical lo llamaremos .
va desde el centro de la elipse hasta
. Dado que los ejes coordenados son perpendiculares tenemos, por el teorema de Pitágoras:
( es la distancia que va desde el punto
hasta el punto
). Observa que
es mayor al número
, así como de
. También es importante notar que:
. Por definición de elipse, tenemos:
Si elevamos al cuadrado, y simplificamos obtenemos:
Si dividimos entre 4 simplificamos esta ecuación:
Ahora elevamos de nuevo al cuadrado para desaparecer el radical:
Reduciendo términos llegamos a:
Y recordando que , se tiene que:
, luego:
Al dividir ambos lados de la última igualdad entre obtenemos:
Una vez disctutido el problema anterior, podemos dar la definición de elipse.
Elipse




Observa que la ecuación de la elipse que hemos calculado tiene su centro en el origen. Esta es la primera forma que vamos a estudiar en este curso.
Elementos asociados a la elipse
Para poder estudiar con mejor facilidad la elipse alrededor de ella se han definido algunos elementos.
Radio focal



Vértice
En la discusión del problema anterior, los vértices tenían coordenadas y
.
Eje mayor

Centro
Eje menor
Es importante mencionar que el eje mayor de una elipse no siempre será horizontal. De manera semejante, el eje menor de la elipse no siempre será vertical.
Lado recto
Teorema


Este teorema se demostró al inicio de la deducción de la ecuación de la elipse en el primer ejemplo de esta lección.
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