Caracterización geométrica de la elipse

Ahora vamos a centrar nuestra atención en la elipse. Esta figura geométrica tiene la misma esencia que la circunferencia, pero ésta está dilatada en uno de sus ejes. Recuerda la definición de circunferencia. Sus puntos equidistan del centro.

En el siguiente ejemplo se deduce la ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Elipse
3 Elementos asociados a la elipse
4 Radio focal
5 Vértice
6 Eje mayor
7 Centro
8 Eje menor
9 Lado recto
10 Teorema

Ejemplo 1

Un punto $P(x,y)$ se mueve de tal forma que la suma de su distancia a los puntos $F(0,c)$ y $F'(0,-c)$ siempre
es constante. Es decir: $d = |\overline{FP}| + |\overline{PF'}|$ . Encuentra la ecuación que representa a este lugar geométrico.

Empezamos graficando la información dada en el texto del problema:

Observa que hemos definido dos distancias: $a$ y $b$ . La primera va desde el punto $F(c,0)$ hasta la intersección de la elipse con el eje vertical. Esta misma distancia es la que mide desde el centro de la elipse hasta su intersección con el eje horizontal (a este punto lo llamaremos $V$ ).

Para ver que esto es así considera lo siguiente:

Sea $~r~$ la distancia desde el origen hasta $V$ .
Desde el punto $F'(-c,0)$ hasta el origen, después hasta $V$ , mide $r + c$ .
Le sumamos la distancia desde $V$ hasta el punto $F(c,0)$ , que es igual a $r - c$ .
Obtenemos: $(r + c) + (r - c) = 2\,r$ .
Pero esta distancia es igual a $|\overline{FP}| + |\overline{PF'}| = 2\,a$ .
Luego, $2\,r = 2\,a$ , que nos indica: $r = a$ .

Al punto donde la elipse se intersecta con el eje vertical lo llamaremos $B$ . $b$ va desde el centro de la elipse hasta $B$ . Dado que los ejes coordenados son perpendiculares tenemos, por el teorema de Pitágoras:

$\begin{equation*} a^2 = b^2 + c^2 \end{equation*}$

( $a$ es la distancia que va desde el punto $F(c,0)$ hasta el punto $B(0,b)$ ). Observa que $a$ es mayor al número $b$ , así como de $c$ . También es importante notar que: $|\overline{FP}| + |\overline{PF'}| = 2\,a$ . Por definición de elipse, tenemos:

$\begin{eqnarray*} d &=& \qquad\quad |\overline{FP}| \qquad + \quad\qquad |\overline{PF'}| \\ 2\,a &=& \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Si elevamos al cuadrado, y simplificamos obtenemos:

$\begin{equation*} 4\,cx - 4\,a^2 = -4\,a\,\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \end{equation*}$

Si dividimos entre 4 simplificamos esta ecuación:

$\begin{equation*} cx - a^2 = -a\,\sqrt{(x-c)^2 + y^2} \end{equation*}$

Ahora elevamos de nuevo al cuadrado para desaparecer el radical:

$\begin{equation*} c^2x^2 - 2\,a^2cx + a^4 = a^2x^2 - 2\,a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2 \end{equation*}$

Reduciendo términos llegamos a:

$\begin{equation*} (a^2 - c^2)\,x^2 + a^2y^2 = a^4 - a^2c^2 = a^2\cdot\left(a^2 - c^2\right) \end{equation*}$

Y recordando que $a^2 = b^2 + c^2$ , se tiene que: $a^2 - c^2 = b^2$ , luego:

$\begin{equation*} b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \end{equation*}$

Al dividir ambos lados de la última igualdad entre $a^2b^2$ obtenemos:

$\begin{equation*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

Una vez disctutido el problema anterior, podemos dar la definición de elipse.

Elipse

Es el conjunto de todos los puntos $P$ en el plano, tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos $F$ y $F'$ llamados focos, es igual a una constante $2\,a$ .

Observa que la ecuación de la elipse que hemos calculado tiene su centro en el origen. Esta es la primera forma que vamos a estudiar en este curso.

Elementos asociados a la elipse

Para poder estudiar con mejor facilidad la elipse alrededor de ella se han definido algunos elementos.

Radio focal

Es el segmento de recta dirigido $\vec{r}$ que va desde un foco $F$ de la elipse hasta un punto $P(x,y)$ que esté sobre ella.

Vértice

Cada uno de los puntos de intersección de la elipse con la recta sobre la cual están los focos se llama vértice de la elipse.

En la discusión del problema anterior, los vértices tenían coordenadas $V(a,0)$ y $V'(-a,0)$ .

Eje mayor

Es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el otro: $\overline{VV'}$ . El eje mayor de la elipse también se conoce como eje transverso.

Centro

Es el punto medio del eje mayor de una elipse.

Eje menor

Es el segmento de recta que es perpendicular al eje mayor, que pasa por el centro de la elipse, y cuyos extremos son las intersecciones de este segmento con la elipse. El eje menor también se conoce como eje conjugado.

Es importante mencionar que el eje mayor de una elipse no siempre será horizontal. De manera semejante, el eje menor de la elipse no siempre será vertical.

Lado recto

El lado recto (LR) de una elipse es el segmento de recta que pasa por uno de sus focos, es perpendicular al eje mayor y cuyos extremos están sobre la elipse.

Teorema

La longitud del eje mayor de una elipse es igual a la suma de las distancias de un punto cualquiera $P(x,y)$ que esté sobre la elipse a los focos. Es decir, la longitud del eje mayor es: $2\,a = |\overline{FP}| + |\overline{PF'}|$

Este teorema se demostró al inicio de la deducción de la ecuación de la elipse en el primer ejemplo de esta lección.

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