Caracterización geométrica de la circunferencia

En la lección Lugares Geométricos se muestra cómo caracterizar una circunferencia geométricamente, a través de la solución de un ejemplo. En esta lección vamos a resolver el mismo problema para el caso más general y vamos a detallar un poco más esa solución.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Elementos de la circunferencia
3 Radio
4 Cuerda
5 Diámetro
6 Arco
7 Círculo
8 Tangente
9 Secante
10 Punto interno
11 Punto externo

Ejemplo 1

Un punto $P(x,y)$ se mueve de tal manera que su distancia al punto $C(h,k)$ siempre es igual a $~r~$ unidades. Encuentra la ecuación de este lugar geométrico.

La distancia desde el punto $P(x,y)$ hasta el punto $C(h,k)$ siempre es $~r~$ .
Utilizamos la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos.

$\begin{eqnarray*} \overline{PC}\hspace{2ex} = \hspace{2ex} r &=& \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2}\\ r^2 &=& \textcolor{red}{(x - h)^2} + \textcolor{blue}{(y - k)^2}\\ r^2 &=& \textcolor{red}{x^2 - 2\,hx + h^2} + \textcolor{blue}{y^2 - 2\,ky + k^2}\\ 0 &=& x^2 + y^2 - 2\,hx - 2\,ky + h^2 + k^2 - r^2 \end{eqnarray*}$

Esta ecuación corresponde a una circunferencia de radio $~r~$ y centro en el punto $C(h,k)$ .

Entonces, la ecuación:

$\begin{equation*} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \end{equation*}$

corresponde a una circunferencia de radio $~r~$ con centro en el punto $C(h,k)$ .

Esta misma ecuación puede desarrollarse y obtenemos:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 -2\,hx - 2\,ky + h^2 + k^2 - r^2 = 0 \end{equation*}$

la cual podemos reescribir como:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}$

donde $D = -2\,h$ , $E = -2\,k$ y $F = h^2 + k^2 - r^2$ . Esta forma de escribir la ecuación de la recta nos permitirá resolver más problemas aún. El caso particular más sencillo para esta ecuación se obtiene cuando el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas.

Entonces, $C(h,k)$ es $C(0,0)$ y la ecuación de la circunferencia se reduce a:

$\begin{eqnarray*} (x-0)^2 + (y-0)^2 &=& r^2\\ x^2 + y^2 &=& r^2 \end{eqnarray*}$

Esta es la ecuación que vamos a estudiar para iniciar el estudio de la circunferencia.

Elementos de la circunferencia

Ahora vamos a definir algunos elementos que son importantes para el estudio de la circunferencia. En la siguiente figura se muestran los elementos de la circunferencia.

A continuación se dan las definiciones de cada uno de los elementos mostrados en la figura anterior.

Radio

El radio de una circunferencia es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera sobre ésta.

Cuerda

Es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera que pertenecen a la circunferencia.

Diámetro

Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Todo diámetro de una circunferencia es el eje de simetría de la misma. El diámetro es la mayor cuerda que se puede trazar a una circunferencia.

Arco

Es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma que se llaman extremos del arco.

Círculo

Es la superficie plana limitada por una circunferencia.

El círculo es el área encerrada por la circunferencia. Desde el punto de vista algebraico corresponde a todos los puntos que satisfacen la desigualdad:

$\begin{equation*} (x-h)^2 + (y-k)^2 < r^2 \end{equation*}$

Es decir, el círculo son todos los puntos internos a la circunferencia.

Tangente

Es una recta que toca a la circunferencia en uno de sus puntos. El punto donde toca a la circunferencia se llama punto de tangencia. Una tangente siempre es perpendicular al radio que va desde el punto de tangencia hasta el centro de la circunferencia.

Secante

Una recta secante a una circunferencia es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Es muy fácil observar que una recta toca a una circunferencia en dos puntos cuando su distancia al centro de la circunferencia es menor al radio, en un solo punto cuando su distancia es igual al radio, o en ningún punto cuando su distancia al centro de la circunferencia es mayor al radio.

Punto interno

Un punto es interno o interior a una circunferencia cuando su distancia al centro de la misma es menor al radio.

Punto externo

Un punto es externo o exterior a una circunferencia cuando su distancia al centro de la misma es mayor al radio.

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