En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué regla (fórmula) vamos a utilizar para derivarla. Sin embargo, en cálculo integral se trata de otra historia completamente diferente.
Cuando queremos calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que podamos calcular la integral inmediatamente. Debido a esto se han creado algunos métodos para calcular las integrales de funciones
que aparecen frecuentemente. De estos métodos, los más frecuentemente usados son:
- 1. Cambio de variable
- 2. Integración por partes
- 3. Integración de potencias trigonométricas
- 4. Sustitución trigonométrica
- 5. Fracciones parciales
Vamos a considerar solamente estos métodos para iniciarte en el arte de la integración de funciones.
Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en cálculo diferencial:
En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función para que podamos integrar. Observa que el término
solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función
que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.
Ejemplo
Calcula la siguiente integral indefinida:
Empezamos definiendo: , de donde:
.
Sustituyendo estos valores en la integral:
obtenemos:
Observa que hemos completado la diferencial multiplicando por en el integrando. Ahora solamente aplicamos la regla (iv) de integración, y obtenemos:
En otros casos vamos a tener que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable.
Ejemplo
Calcula la integral:
Factorizando el término común, podemos representar esta integral como:
Ahora definimos:
Entonces, la diferencial está completa, y podemos integrar haciendo el cambio de variable como se acaba de definir:
Ejemplo
Calcula la integral indefinida:
Podemos calcular esta integral utilizando la regla (iv) de integración:
Pero para eso, debemos hacer las definiciones:
Sustituyendo estos valores en la regla de sustitución obtenemos:
Ejemplo
Calcula la siguiente integral:
Observa que el integrando se puede reescribir como:
Y si definimos:
que es precisamente el factor que tenemos en el numerador del integrando.
Entonces, la diferencial está completa.
Ahora podemos reescribir la integral como:
Y la podemos integrar inmediatamente:
Este método será muy útil cuando tengamos una expresión irracional en el denominador del integrando que no se puede simplificar usando solamente las leyes de los exponentes. Para esto, nosotros vamos a definir una variable de manera que nos permita simplificar el integrando, pero siempre teniendo en cuenta la regla para integrar por el método de cambio de variable.
El truco para este tipo de integrales es definir elevado a una potencia que sea igual al índice de la raíz e igualar esta potencia al radicando (que debe estar en función de
). Los siguientes ejemplos muestran dos casos.
Ejemplo
Calcula la integral indefinida:
Como tenemos una raíz en el denominador que no podemos simplificar usando las leyes de los exponentes, vamos a utilizar el siguiente cambio de variable:
Observa que utilizamos porque el índice de la raíz es 2. Esto nos permitirá sustituir al final
en lugar de
. Sustituyendo este cambio de variable en la integral obtenemos:
Ahora vamos a sumar y a restar 1 en el numerador. Esto nos permitirá hacer:
Cambiando la variable en términos de
, obtenemos:
Entonces,
Como puedes ver, el álgebra nos ayudó a convertir el integrando que obtuvimos después del cambio de variable a una forma que fuera inmediatamente integrable. Siempre que utilicemos este método, vamos a requerir de creatividad para saber qué hacer algebraicamente para convertirla a una forma integrable. No siempre conviene sumar y restar en el numerador o para poder calcular la integral.
Ejemplo
Calcula la siguiente integral indefinida:
Dado que el índice de la raíz es 2, definimos: . Así,
, y
. Ahora sustituimos en la integral y obtenemos:
Ahora vamos a completar el cuadrado en el numerador. Para eso, vamos a sumar . Así obtenemos:
Ya podemos calcular la primera integral. Para simplificar la otra integral, vamos a sumar en el numerador:
Entonces, sustituyendo en términos de
,
Importante: Cuando el Integrando no tenga la forma de una expresión que se Integra directamente, debes simplificar la expresión hasta que obtengas una equivalente que sí puedas Integrar.
Ejemplo
Calcula la siguiente Integral:

a continuación:
Ahora factoriza la diferencia de cubos y simplifica para obtener:
Calcular la Integral ahora es muy sencillo:
Y con esto terminamos.
Otra forma equivalente de resolver el problema es calcular por medio de la división larga que
y después calcular la Integral solicitada.
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