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Cambio de variable

Aprenderás a calcular antiderivadas de funciones por medio de un cambio de variable.

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En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué regla (fórmula) vamos a utilizar para derivarla. Sin embargo, en cálculo integral se trata de otra historia completamente diferente.

Cuando queremos calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que podamos calcular la integral inmediatamente. Debido a esto se han creado algunos métodos para calcular las integrales de funciones
que aparecen frecuentemente. De estos métodos, los más frecuentemente usados son:

  • 1. Cambio de variable
  • 2. Integración por partes
  • 3. Integración de potencias trigonométricas
  • 4. Sustitución trigonométrica
  • 5. Fracciones parciales

Vamos a considerar solamente estos métodos para iniciarte en el arte de la integración de funciones.

Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en cálculo diferencial:

    \begin{equation*}    \int\!f(u(x))\,u'(x)\,\cdot dx= \int\!f(t)\,\cdot dt \end{equation*}

En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función u(x) para que podamos integrar. Observa que el término u'(x) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.


Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\left(5\,x - 7\right)^{12}\,\cdot dx \end{equation*}

Empezamos definiendo: \textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{5\,x - 7}, de donde: \textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{5}.
Sustituyendo estos valores en la integral:

    \begin{equation*}    \int\!f(u(x))\,u'(x)\,\cdot dx = \int\!f(t)\,\cdot dt \end{equation*}

obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!(\textcolor{red}{5\,x - 7})^{12}\,\left(\displaystyle\frac{\textcolor{blue}{5}}{5}\right)\,\cdot dx= \displaystyle\frac{1}{5}\int\!(\textcolor{red}{u(x)})^{12}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dt \end{equation*}

Observa que hemos completado la diferencial multiplicando por 5/5 en el integrando. Ahora solamente aplicamos la regla (iv) de integración, y obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\left(5\,x - 7\right)^{12}\,\cdot dx&=& \displaystyle\frac{1}{5}\int\!(\textcolor{red}{u(x)})^{12}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ 	&=& \displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{[u(x)]^{13}}{13} + C \\ 	&=& \displaystyle\frac{1}{5}\cdot\displaystyle\frac{\left(5\,x - 7\right)^{13}}{13} + C\\ 	&=& \displaystyle\frac{\left(5\,x - 7\right)^{13}}{65} + C \end{eqnarray*}


En otros casos vamos a tener que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable.


Ejemplo

Calcula la integral:

    \begin{equation*}    \int\!\left(2\,x\sqrt{x^2 + x - 5} + \sqrt{x^2 + x - 5}\right)\,\cdot dx \end{equation*}

Factorizando el término común, podemos representar esta integral como:

    \begin{equation*}    \int\!\sqrt{x^2 + x - 5}\,\left(2\,x + 1\right)\,\cdot dx \end{equation*}

Ahora definimos:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{x^2 + x - 5}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{2\,x + 1} \end{equation*}

Entonces, la diferencial está completa, y podemos integrar haciendo el cambio de variable como se acaba de definir:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\sqrt{x^2 + x - 5}\,\left(2\,x + 1\right)\,\cdot dx 	&=& \int\!\sqrt{\textcolor{red}{u(x)}}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ 	&=& \int\!\left(\textcolor{red}{u(x)}\right)^{1/2}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ 	&=& \displaystyle\frac{u(x)^{3/2}}{3/2}+ C\\ 	&=& \displaystyle\frac{2\,\left(x^2 + x - 5\right)^{3/2}}{3}+ C \end{eqnarray*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{2\,x - 1}} \end{equation*}

Podemos calcular esta integral utilizando la regla (iv) de integración:

    \begin{equation*}    \int\!\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{2\,x - 1}} = \int\!\left(2\,x - 1\right)^{-1/2}\,\cdot dx \end{equation*}

Pero para eso, debemos hacer las definiciones:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{2\,x - 1}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{2} \end{equation*}

Sustituyendo estos valores en la regla de sustitución obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{2\,x - 1}} &=& \int\!\left(\textcolor{red}{u(x)}\right)^{-1/2}\,\left(\displaystyle\frac{\textcolor{blue}{2}}{2}\right)\cdot dx\\ 	&=& \displaystyle\frac{1}{2}\int\!\left(\textcolor{red}{u(x)}\right)^{-1/2}\,\textcolor{blue}{u'(x)}\cdot dx\\ 	&=& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\left(u(x)\right)^{1/2}}{1/2} + C\\ 	&=& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{2\,\left(2\,x - 1\right)^{1/2}}{1} + C\\ 	&=& \sqrt{2\,x - 1} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo

Calcula la siguiente integral:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\left(5\,x^4 - 2\,x\right)}{x\,\sqrt{x^3 - 1}}\,\cdot dx \end{equation*}

Observa que el integrando se puede reescribir como:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\left(5\,x^4 - 2\,x\right)}{x\,\sqrt{x^3 - 1}}\,\cdot dx= \int\!\frac{\left(5\,x^4 - 2\,x\right)}{\sqrt{x^5 - x^2}}\,\cdot dx \end{equation*}

Y si definimos:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{u(x)} = \textcolor{red}{x^5 - x^2}\qquad\mbox{ tenemos que: }\qquad \textcolor{blue}{u'(x)} = \textcolor{blue}{5\,x^4 - 2\,x} \end{equation*}

que es precisamente el factor que tenemos en el numerador del integrando.
Entonces, la diferencial está completa.
Ahora podemos reescribir la integral como:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\left(5\,x^4 - 2\,x\right)}{\sqrt{x^5 - x^2}}\,\cdot dx= \int\!\left(x^5 - x^2\right)^{-1/2}\left(5\,x^4 - 2\,x\right)\,\cdot dx \end{equation*}

Y la podemos integrar inmediatamente:

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    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{\left(5\,x^4 - 2\,x\right)}{\sqrt{x^5 - x^2}}\,\cdot dx 	&=& \int\!\left(x^5 - x^2\right)^{-1/2}\left(5\,x^4 - 2\,x\right)\,\cdot dx\\ 	&=& \int\!\left(\textcolor{red}{u(x)}\right)^{-1/2}\textcolor{blue}{u'(x)}\,\cdot dx\\ 	&=& \frac{\left(\textcolor{red}{u(x)}\right)^{1/2}}{1/2} + C\\ 	&=& 2\,\sqrt{x^5 - x^2} + C \end{eqnarray*}


Este método será muy útil cuando tengamos una expresión irracional en el denominador del integrando que no se puede simplificar usando solamente las leyes de los exponentes. Para esto, nosotros vamos a definir una variable z de manera que nos permita simplificar el integrando, pero siempre teniendo en cuenta la regla para integrar por el método de cambio de variable.

El truco para este tipo de integrales es definir z elevado a una potencia que sea igual al índice de la raíz e igualar esta potencia al radicando (que debe estar en función de x). Los siguientes ejemplos muestran dos casos.


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{1 + \sqrt{x}} \end{equation*}

Como tenemos una raíz en el denominador que no podemos simplificar usando las leyes de los exponentes, vamos a utilizar el siguiente cambio de variable:

    \begin{equation*}    x = z^2\qquad\Rightarrow\qquad \cdot dx= 2\,z\,\cdot dz \end{equation*}

Observa que utilizamos z^2 porque el índice de la raíz es 2. Esto nos permitirá sustituir al final \sqrt{x} en lugar de z. Sustituyendo este cambio de variable en la integral obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{1 + \sqrt{x}} = \int\!\frac{2\,z\,\cdot dz}{1 + z} = 2\,\int\!\frac{z\,\cdot dz}{1 + z} \end{equation*}

Ahora vamos a sumar y a restar 1 en el numerador. Esto nos permitirá hacer:

    \begin{eqnarray*}    2\,\int\!\frac{1 + z - 1}{1 + z}\,\cdot dz&=& 2\,\int\!\left[\frac{1 + z}{1 + z} - \frac{1}{1 + z} \right]\,\cdot dz\\ 	&=& 2\,\int\!\left[1 - \frac{1}{1 + z} \right]\,\cdot dz\\ 	&=& 2\,\int\! dz- 2\,\int\!\frac{\cdot dz}{1 + z}\\ 	&=& 2\,z - 2\,\ln|1 + z| + C \end{eqnarray*}

Cambiando la variable z en términos de x, obtenemos:

    \begin{equation*}    2\,z - \ln|1 + z| + C = 2\,\sqrt{x} - 2\,\ln\left(1 + \sqrt{x}\right) + C \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{1 + \sqrt{x}} = 2\,\sqrt{x} - 2\,\ln\left(1 + \sqrt{x}\right) + C \end{equation*}


Como puedes ver, el álgebra nos ayudó a convertir el integrando que obtuvimos después del cambio de variable a una forma que fuera inmediatamente integrable. Siempre que utilicemos este método, vamos a requerir de creatividad para saber qué hacer algebraicamente para convertirla a una forma integrable. No siempre conviene sumar y restar en el numerador o para poder calcular la integral.


Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x + 1} - 1}\,\cdot dx \end{equation*}

Dado que el índice de la raíz es 2, definimos: z^2 = x + 1. Así, z= \sqrt{x + 1}, y \cdot dx= 2\,z\,\cdot dz. Ahora sustituimos en la integral y obtenemos:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x + 1} - 1}\,\cdot dx= \int\!\frac{2\,z(z + 1)\,\cdot dz}{z - 1} 	= 2\,\int\!\frac{z^2 + z}{z - 1}\,\cdot dz \end{equation*}

Ahora vamos a completar el cuadrado en el numerador. Para eso, vamos a sumar 0 = -3\,z + 1 + 3\,z - 1. Así obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    2\,\int\!\frac{z^2 + z}{z - 1}\,\cdot dz&=& 2\,\int\!\frac{z^2 + z -3\,z + 1 + 3\,z - 1}{z - 1}\,\cdot dz\\ 	&=& 2\,\int\!\frac{(z^2 - 2\,z + 1) + 3\,z - 1}{z - 1}\,\cdot dz\\ 	%&=& 2\,\int\!\frac{(z - 1)^2 + 3\,z - 1}{z - 1}\,\cdot dz\\ 	&=& 2\,\int\!\frac{(z - 1)^2}{z - 1}\,\cdot dz+ 2\,\int\!\frac{3\,z - 1}{z - 1}\,\cdot dz\\ 	&=& 2\,\int\!(z - 1)\,\cdot dz+ 2\,\int\!\frac{3\,z - 1}{z - 1}\,\cdot dz \end{eqnarray*}

Ya podemos calcular la primera integral. Para simplificar la otra integral, vamos a sumar en el numerador: - 2 + 2

    \begin{eqnarray*}    2\,\int\!(z - 1)\,\cdot dz+ 2\,\int\!\frac{3\,z - 1}{z - 1}\,\cdot dz 	&=& \frac{2\,z^2}{2} - 2\,z + 2\,\int\!\frac{(3\,z - 3) + 2}{z - 1}\,\cdot dz\\ 	&=& z^2 - 2\,z + 2\,\int\!\frac{3\,(z - 1)}{z - 1}\,\cdot dz + 2\,\int\!\frac{2\,\cdot dz}{z - 1}\\ 	&=& z^2 - 2\,z + 6\,\int\!\,dz + 4\,\int\!\frac{\cdot dz}{z - 1}\\ 	&=& z^2 - 2\,z + 6\,z  + 4\,\ln(z - 1) + C\\ 	&=& z^2 + 4\,z  + 4\,\ln(z - 1) + C \end{eqnarray*}

Entonces, sustituyendo z en términos de x,

    \begin{equation*}    \int\!\frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x + 1} - 1}\,\cdot dx= (x + 1) + 4\,\sqrt{x + 1}  + 4\,\ln\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) + C \end{equation*}


Importante: Cuando el Integrando no tenga la forma de una expresión que se Integra directamente, debes simplificar la expresión hasta que obtengas una equivalente que sí puedas Integrar.

Ejemplo

Calcula la siguiente Integral:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx \end{equation*}

Usamos el siguiente artificio: suma 1 - 1 en el numerador y separa en dos fracciones como se indica
a continuación:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx = \left(\frac{x^3 + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{equation*}

Ahora factoriza la diferencia de cubos x^3 + 1 y simplifica para obtener:

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx  		= \left(\frac{(x + 1)\left(1 - x + x^2\right)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx 		= \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx \end{eqnarray*}

Calcular la Integral ahora es muy sencillo:

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{x^3}{x + 1}\cdot dx &=& \left(1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1}\right)\cdot dx	\\ 		&=& x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ln(x + 1) + C \end{eqnarray*}

Y con esto terminamos.

Otra forma equivalente de resolver el problema es calcular por medio de la división larga que

    \begin{equation*} 	\frac{x^3}{x + 1} = 1 - x + x^2 - \frac{1}{x + 1} \end{equation*}

y después calcular la Integral solicitada.


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