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Área entre dos gráficas

Aprenderás a calcular el área de una región del plano delimitada por las gráficas de dos funciones.

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En algunas aplicaciones de ingeniería y de administración se requiere conocer el área entre dos curvas. En estos casos usamos la misma idea de la integral de Riemann pero ahora vamos a calcular la diferencia de las alturas de
las funciones y a considerar una pequeña banda vertical como un pequeño incremento en x (es decir, como \Delta x) y calcular el área en el intervalo de interés.


Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: y = x, y y = x^2, desde x=0 hasta x=1.

Tenemos dos formas distintas de calcular el área buscada. En el primer método calculamos las áreas por separado y calculamos la diferencia entre ambas. Empezamos calculando el área debajo de la recta:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{1}\!x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Por otra parte, el área debajo de la parábola es:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{1}\!x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{3} \end{equation*}

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

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Evidentemente, si al área que está debajo de la recta le restamos el área que está por debajo de la parábola, obtenemos el área entre las dos curvas:

    \begin{equation*}    A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{equation*}

En el segundo método vamos a calcular la diferencia de las alturas de las funciones para cada punto. Esa distancia es la altura de cada diferencial de área:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{1}\!(x - x^2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{equation*}

Observa que la recta está por encima de la parábola. Esa es la razón por la cual restamos la que está por debajo a la que está por arriba. Así la altura de cada diferencial es positiva y obtenemos un resultado positivo.



Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: y = \cos x, y y = \sin x desde x = \pi/4 hasta 5\,\pi/4.

De la gráfica de las dos funciones, nos damos cuenta que en esos puntos las dos gráficas se cortan.
Además, en ese intervalo \sin x queda por encima del \cos x.

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Entonces, el área se calcula con:

    \begin{equation*}    \int\limits_{\pi/4}^{5\pi/4}\!(\sin x - \cos x)\,dx = \left.\textcolor{white}{\frac{}{}}\!\!\!(-\cos x - \sin x)\right\vert_{\pi/4}^{5\pi/4} = 2\,\sqrt{2} \end{equation*}



Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: y = \sqrt{x}, y y = x^2 desde x = 0 hasta 1.

La representación geométrica del problema es la siguiente:

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En el intervalo (0,1), la gráfica de la función y = \sqrt{x} está por encima de la gráfica de la función y = x^2. Entonces, el área se calcula con:

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    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{1}\!(\sqrt{x} - x^2)\,dx = \left.\left(\frac{2\,x^{3/2}}{3} - \frac{x^3}{3}\right)\right\vert_{0}^{1} =  \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \end{equation*}

Por simetría es evidente que el área que ahora buscamos es igual al doble de la que está entre la recta y=x y y=x^2. Observa que el resultado está de acuerdo con el primer ejemplo.



Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: y = x/2, y y = \sqrt{x} desde x = 0 hasta x=4.

Los puntos de intersección de las dos curvas son: (0,0) y (4,2). En el intervalo (0,4), la función y = \sqrt{x} está por encima de la de la función y = x/2. El área encerrada por estas dos funciones es:

    \begin{equation*}    \int\limits_{0}^{4}\!\left(\sqrt{x} - \frac{x}{2}\right)\,dx  	= \left.\left(\frac{2\,x^{3/2}}{3} - \frac{x^2}{4}\right)\right\vert_{0}^{4}  	= \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3} \end{equation*}

Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

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Ejemplo

Calcula el área encerrada entre las funciones: y = x^2 - 1, y y = 1 - x^2.

Primero debemos calcular los puntos de intersección de las dos curvas. Para eso igualamos los valores de y y resolvemos para x:

    \begin{eqnarray*}    x^2 - 1 &=& 1 - x^2 \\    2\,x^2 &=& 2\\    x^2 &=& 1\qquad x = \pm 1 \end{eqnarray*}

Para calcular el valor de y, sustituimos en cualquiera de las funciones:

    \begin{equation*}    y(-1) = (-1)^2 - 1 = 0\qquad\qquad y(1) = (1)^2 - 1 = 0 \end{equation*}

Entonces, los puntos de intersección de las dos funciones son: A(-1,0) y B(1,0). El área encerrada por las dos parábolas es:

    \begin{eqnarray*} A &=& \int\limits_{-1}^{1}\!\left[(1-x^2) - (x^2 - 1)\right]\,dx\\ 	&=& \int\limits_{-1}^{1}\!\left[2 - 2\,x^2\right]\,dx \\ 	&=& \left.\left( 2\,x - \frac{2\,x^3}{3}\right)\right\vert_{-1}^{1}\\ 	&=& \frac{8}{3} \end{eqnarray*}

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