En algunas aplicaciones de ingeniería y de administración se requiere conocer el área entre dos curvas. En estos casos usamos la misma idea de la integral de Riemann pero ahora vamos a calcular la diferencia de las alturas de
las funciones y a considerar una pequeña banda vertical como un pequeño incremento en (es decir, como
) y calcular el área en el intervalo de interés.
Ejemplo
Calcula el área entre las funciones: , y
, desde
hasta
.
Tenemos dos formas distintas de calcular el área buscada. En el primer método calculamos las áreas por separado y calculamos la diferencia entre ambas. Empezamos calculando el área debajo de la recta:
Por otra parte, el área debajo de la parábola es:
Geométricamente tenemos la siguiente situación:
Evidentemente, si al área que está debajo de la recta le restamos el área que está por debajo de la parábola, obtenemos el área entre las dos curvas:
En el segundo método vamos a calcular la diferencia de las alturas de las funciones para cada punto. Esa distancia es la altura de cada diferencial de área:
Observa que la recta está por encima de la parábola. Esa es la razón por la cual restamos la que está por debajo a la que está por arriba. Así la altura de cada diferencial es positiva y obtenemos un resultado positivo.
Ejemplo
Calcula el área entre las funciones: , y
desde
hasta
.
De la gráfica de las dos funciones, nos damos cuenta que en esos puntos las dos gráficas se cortan.
Además, en ese intervalo queda por encima del
.
Entonces, el área se calcula con:
Ejemplo
Calcula el área entre las funciones: , y
desde
hasta
.
La representación geométrica del problema es la siguiente:
En el intervalo , la gráfica de la función
está por encima de la gráfica de la función
. Entonces, el área se calcula con:
Por simetría es evidente que el área que ahora buscamos es igual al doble de la que está entre la recta y
. Observa que el resultado está de acuerdo con el primer ejemplo.
Ejemplo
Calcula el área entre las funciones: , y
desde
hasta
.
Los puntos de intersección de las dos curvas son: y
. En el intervalo
, la función
está por encima de la de la función
. El área encerrada por estas dos funciones es:
Geométricamente, tenemos la siguiente situación:
Ejemplo
Calcula el área encerrada entre las funciones: , y
.
Primero debemos calcular los puntos de intersección de las dos curvas. Para eso igualamos los valores de y resolvemos para
:
Para calcular el valor de , sustituimos en cualquiera de las funciones:
Entonces, los puntos de intersección de las dos funciones son: y
. El área encerrada por las dos parábolas es:
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