Área entre dos gráficas

En algunas aplicaciones de ingeniería y de administración se requiere conocer el área entre dos curvas. En estos casos usamos la misma idea de la integral de Riemann pero ahora vamos a calcular la diferencia de las alturas de
las funciones y a considerar una pequeña banda vertical como un pequeño incremento en $x$ (es decir, como $\Delta x$ ) y calcular el área en el intervalo de interés.

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Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: $y = x$ , y $y = x^2$ , desde $x=0$ hasta $x=1$ .

Tenemos dos formas distintas de calcular el área buscada. En el primer método calculamos las áreas por separado y calculamos la diferencia entre ambas. Empezamos calculando el área debajo de la recta:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{2} \end{equation*}$

Por otra parte, el área debajo de la parábola es:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{3} \end{equation*}$

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

Evidentemente, si al área que está debajo de la recta le restamos el área que está por debajo de la parábola, obtenemos el área entre las dos curvas:

$\begin{equation*} A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{equation*}$

En el segundo método vamos a calcular la diferencia de las alturas de las funciones para cada punto. Esa distancia es la altura de cada diferencial de área:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!(x - x^2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{equation*}$

Observa que la recta está por encima de la parábola. Esa es la razón por la cual restamos la que está por debajo a la que está por arriba. Así la altura de cada diferencial es positiva y obtenemos un resultado positivo.

Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: $y = \cos x$ , y $y = \sin x$ desde $x = \pi/4$ hasta $5\,\pi/4$ .

De la gráfica de las dos funciones, nos damos cuenta que en esos puntos las dos gráficas se cortan.
Además, en ese intervalo $\sin x$ queda por encima del $\cos x$ .

Entonces, el área se calcula con:

$\begin{equation*} \int\limits_{\pi/4}^{5\pi/4}\!(\sin x - \cos x)\,dx = \left.\textcolor{white}{\frac{}{}}\!\!\!(-\cos x - \sin x)\right\vert_{\pi/4}^{5\pi/4} = 2\,\sqrt{2} \end{equation*}$

Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: $y = \sqrt{x}$ , y $y = x^2$ desde $x = 0$ hasta $1$ .

La representación geométrica del problema es la siguiente:

En el intervalo $(0,1)$ , la gráfica de la función $y = \sqrt{x}$ está por encima de la gráfica de la función $y = x^2$ . Entonces, el área se calcula con:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!(\sqrt{x} - x^2)\,dx = \left.\left(\frac{2\,x^{3/2}}{3} - \frac{x^3}{3}\right)\right\vert_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \end{equation*}$

Por simetría es evidente que el área que ahora buscamos es igual al doble de la que está entre la recta $y=x$ y $y=x^2$ . Observa que el resultado está de acuerdo con el primer ejemplo.

Ejemplo

Calcula el área entre las funciones: $y = x/2$ , y $y = \sqrt{x}$ desde $x = 0$ hasta $x=4$ .

Los puntos de intersección de las dos curvas son: $(0,0)$ y $(4,2)$ . En el intervalo $(0,4)$ , la función $y = \sqrt{x}$ está por encima de la de la función $y = x/2$ . El área encerrada por estas dos funciones es:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{4}\!\left(\sqrt{x} - \frac{x}{2}\right)\,dx = \left.\left(\frac{2\,x^{3/2}}{3} - \frac{x^2}{4}\right)\right\vert_{0}^{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3} \end{equation*}$

Geométricamente, tenemos la siguiente situación:

Ejemplo

Calcula el área encerrada entre las funciones: $y = x^2 - 1$ , y $y = 1 - x^2$ .

Primero debemos calcular los puntos de intersección de las dos curvas. Para eso igualamos los valores de $y$ y resolvemos para $x$ :

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 &=& 1 - x^2 \\ 2\,x^2 &=& 2\\ x^2 &=& 1\qquad x = \pm 1 \end{eqnarray*}$

Para calcular el valor de $y$ , sustituimos en cualquiera de las funciones:

$\begin{equation*} y(-1) = (-1)^2 - 1 = 0\qquad\qquad y(1) = (1)^2 - 1 = 0 \end{equation*}$

Entonces, los puntos de intersección de las dos funciones son: $A(-1,0)$ y $B(1,0)$ . El área encerrada por las dos parábolas es:

$\begin{eqnarray*} A &=& \int\limits_{-1}^{1}\!\left[(1-x^2) - (x^2 - 1)\right]\,dx\\ &=& \int\limits_{-1}^{1}\!\left[2 - 2\,x^2\right]\,dx \\ &=& \left.\left( 2\,x - \frac{2\,x^3}{3}\right)\right\vert_{-1}^{1}\\ &=& \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

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Aprenderás a calcular el área de una región del plano delimitada por las gráficas de dos funciones.

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