Área bajo una curva

Nosotros conocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferentes figuras geométricas. Por ejemplo, para calcular el área $A$ de un triángulo con base $b$ y altura $h$ , usamos la fórmula:

$\begin{equation*} A = \frac{b\cdot h}{2} \end{equation*}$

Sin embargo, no sabemos cómo calcular el área que hay entre la parábola $y = x^2$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 1$ .

Sin embargo, podemos aproximar el valor de esta área si vamos seccionando el intervalo $(0,1)$ y dibujamos rectángulos con altura igual a la ordenada $y_i = x_i^2$ . Para esto tenemos dos opciones, bien dibujamos los rectángulos de manera que una parte del mismo quede por encima de la parábola, bien los dibujamos de manera que una parte quede por debajo de la parábola.

La aproximación que hagamos tendrá, en el primer caso un error por exceso, es decir, será mayor al valor del área que buscamos. En el segundo caso el área aproximada será un poco menor al área debajo de la parábola.

Podemos calcular el área de cada rectángulo que queda por encima de la parábola y de los que quedan por debajo y ordenar esta información en una tabla:

$\begin{array}{lll}\hline i & A_{inf} & A_{sup} \\\hline 1 & 0.0 & 0.0080 \\ 2 & 0.0080 & 0.032 \\ 3 & 0.032 & 0.072 \\ 4 & 0.072 & 0.128 \\ 5 & 0.128 & 0.2 \\ \hline \text{Totales:} & 0.24 & 0.44 \\ \hline \end{array}$

El tamaño del error dependerá de la cantidad de rectángulos que dibujemos para hacer la aproximación. A mayor cantidad de rectángulos, las regiones de cada rectángulo que queden por encima o por debajo serán cada vez más pequeños que la suma de todos esos errores será despreciable:

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos para diferente número de rectángulos en el intervalo (0,1):

$\textbf{Totales:} \vspace{10pt} \begin{tabular}{lll} \hline $n$ & $A_{inf}$ & $A_{sup}$\\ \hline 10 & 0.285 & 0.385 \\ 20 & 0.309 & 0.359 \\ 30 & 0.317 & 0.350 \\ 40 & 0.321 & 0.346 \\ 50 & 0.323 & 0.343 \\ 100 & 0.328 & 0.388 \\ \hline \end{tabular}$

de la tabla se hace evidente que el área tiende a un número $A$ que satisface:

$\begin{equation*} 0.328 \leq A \leq 0.388 \end{equation*}$

Si dibujamos más rectángulos obtendremos una mejor aproximación. Entonces, si encontramos el límite de la suma de las áreas de todos los rectángulos que dibujamos bajo la curva cuando el número de rectángulos tiende a infinito, debemos obtener el área bajo la curva $y = f(x)$ desde desde $x = a$ hasta $x = b$ . Es decir,

$\begin{equation*} A = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\displaystyle\frac{b-a}{n}\right)}} \end{equation*}$

representa el área que buscamos. Observa que la base del rectángulo mide $\D x = (b - a) / n$ porque hemos decidido hacer $n$ particiones del mismo tamaño todas y que la altura del rectángulo puede ser calculada utilizando la función: $f(x_i)$ .

Cuando el número de particiones ( $n$ ) crece, el error que se comete al aproximar el área bajo la curva con el área del rectángulo, cada vez es más pequeño y cuando $n$ tiende a infinito, $\D x$ tiende a cero. Debido a esto decimos que el área bajo la curva es:

$\begin{equation*} A = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\displaystyle\frac{b-a}{n}\right)}} \end{equation*}$

Contenido

1 Ejemplo
2 Diferencial de área
3 Integral definida
4 Ejemplo

Ejemplo

Calcula el área bajo la parábola $y = x^2$ en el intervalo $(0,1)$ usando el límite:

$\begin{equation*} A = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)}} \end{equation*}$

Por definición:

$\begin{equation*} A = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2\left(\displaystyle\frac{1-0}{n}\right)}} \end{equation*}$

Primero haremos la suma y después vamos a calcular el límite cuando $n$ tiende a infinito.

$\begin{eqnarray*} {\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)}} &=& \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\left(\displaystyle\frac{2}{n}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\left(\displaystyle\frac{3}{n}\right)^2 + \cdots + \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\left(\displaystyle\frac{n}{n}\right)^2\\ &=& \left(\displaystyle\frac{1}{n^3}\right)\left[1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2\right]\\ &=& \left(\displaystyle\frac{1}{n^3}\right)\sum\limits_{i=1}^{n}{i^2} \end{eqnarray*}$

Pero ya habíamos mencionado que:

$\begin{equation*} \sum\limits_{i=1}^{n}{i^2} = \displaystyle\frac{n\,(n+1)(2\,n+1)}{6} \end{equation*}$

Entonces, podemos sustituir esto y obtener:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)}} &=& \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}\right)\sum\limits_{i=1}^{n}{i^2} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[\displaystyle\frac{(n+1)(2\,n+1)}{6\,n^2}\right]\\ &=& \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{2\,n^2 + 3\,n + 1}{6\,n^2}\right) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{3} + \frac{1}{2\,n} + \frac{1}{6\,n^2}\right) = \displaystyle\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Entonces, el área bajo la parábola $y=x^2$ desde $x = 0$ hasta $x = 1$ es $1/3$ exactamente.

Este mismo procedimiento es el que realmente hacemos cuando calculamos la integral definida, pues esta es la forma como se define.

Diferencial de área

Si consideramos un par rectángulos con base común que usamos para aproximar el área bajo la curva, vemos que la base es $\Delta x$ , la altura del rectángulo de mayor área es $f(x_i + \Delta x)$ y la altura del otro es $f(x_i)$ .

El área bajo la curva es mayor que el área del rectángulo que queda por debajo de la curva y a su vez menor que el área del rectángulo que queda por encima. Algebraicamente:

$\begin{equation*} \left(\Delta x\right)\cdot f(x) \leq \Delta A \leq \left(\Delta x\right)\cdot f(x + \Delta x) \end{equation*}$

Al dividir la desigualdad entre $\Delta x$ , obtenemos:

$\begin{equation*} f(x) \leq \frac{\Delta A}{\Delta x} \leq f(x + \Delta x) \end{equation*}$

Si hacemos que $\Delta x$ tienda a cero, obtenemos que la derivada de la función que calcula el área debajo de la función $y = f(x)$ es igual a $f(x)$ :

$\begin{equation*} f(x) \leq \frac{dA}{\dx} \leq f(x)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dA}{\dx} = f(x) \end{equation*}$

En palabras, si queremos calcular el área debajo de la curva de una función dada, tenemos que integrarla, dado que la operación inversa de derivar es integrar.

Y esta integral está definida por el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\frac{b-a}{n}\right)}} = \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\dx \end{equation*}$

que incluye información acerca de los límites de integración, es decir, en qué intervalo queremos calcular el área bajo la curva, por eso se llama integral definida.

De hecho, el símbolo de integración $\int$ representa una « $S$ » estirada, para representar la suma de las áreas de los rectángulos que se dibujan (mentalmente) cuando hacemos que $n$ tienda a infinito. Así que para calcular áreas vamos a utilizar las mismas reglas de integración que hemos estado utilizando hasta ahora.

Integral definida

La integral definida de la función contínua $y = f(x)$ desde $a$ hasta $b$ ,

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\frac{b-a}{n}\right)}} \end{equation*}$

representa el área bajo la curva $y = f(x)$ , el eje $x$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ .

Ejemplo

Calcula el área bajo la curva $y = x^2$ y sobre el eje $x$ en el intervalo $(0, 1)$ .
Calculamos la integral:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!x^2\,\dx = \left.\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} \end{equation*}$

Ahora hacemos la evaluación. Primero evaluamos el límite de integración superior y después el límite inferior:

$\begin{equation*} \left.\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \end{equation*}$

Entonces, el área bajo la curva $y = x^2$ desde $x=0$ hasta $x=1$ es igual a $1/3$ . Compara este resultado con los resultados que se muestran en las tablas anteriores.