Aplicaciones de la integral definida

En esta sección vamos a estudiar algunas otras aplicaciones de la integral definida.

Contenido

1 Ejemplo
2 Ejemplo
3 Centro de gravedad
4 Ejemplo
5 Trabajo
6 Ley de Hooke
7 Ejemplo
8 Ejemplo

Ejemplo

Calcula el volumen generado cuando la función: $y = \sqrt{x}$ gira alrededor del eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 4$ .

La idea geométrica se muestra en la siguente gráfica:

Tenemos que generar discos a partir de cada diferencial $dx$ . Si calculamos el área de una cara del disco y la multiplicamos por su altura ( $dx$ ), obtenemos el volumen del disco. Al sumar el volumen de todos los discos obtendremos una aproximación al volumen que se genera al girar la función alrededor del eje $x$ .

Cuando hacemos que el número de particiones tienda a infinito, obtenemos el volumen buscado.Es fácil reconocer de la gráfica que el radio del disco es igual a $y = \sqrt{x}$ . Entonces, el área de un disco es:

$\begin{equation*} \textrm{d}A = \pi\,r^2 = \pi\left(\sqrt{x}\right)^2 = \pi\,x \end{equation*}$

Y la aproximación al volumen del diferencial es:

$\begin{equation*} \mathrm{d}V = \mathrm{d}A\cdotdx = \pi\,x\,dx \end{equation*}$

donde $dx = 4/n$ , suponiendo $n$ particiones del intervalo $(0,4)$ . La aproximación al volumen entonces es:

$\begin{equation*} \sum\limits_{i=0}^{n}{\pi\,x\,dx} \end{equation*}$

Cuando hacemos que $n$ tienda a infinito obtenemos una integral:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{4}\!\pi\,x\,dx = \left.\pi\,\frac{x^2}{2}\right\vert_{0}^{4} = 8\,\pi \end{equation*}$

Entonces, el volumen que se genera haciendo girar la función $y = \sqrt{x}$ alrededor del eje $x$ desde el origen hasta $x = 4$ es $8\,\pi$ unidades de volumen.

Ejemplo

Calcula el volumen del sólido tetraédrico cuyos vértices están en los puntos: $A(0,0,0)$ , $B(a,0,0)$ , $C(a,b,0)$ , y $D(a,0,c)$ .

El sólido es una pirámide cuyos vértices se enlistan antes. Geométricamente, deseamos calcular el volumen del siguiente sólido:

Vamos a considerar diferenciales de volumen perpendiculares al eje $x$ . La recta que forma una de las aristas del sólido es: $y = b\,x/a$ . La otra arista está sobre la recta: $z = c\,x/a$ . Los triángulos que se forman son rectángulos, porque la base del sólido es paralela al plano $yz$ .

Observa que la base de cada triángulo que se forma con las diferenciales es: $y_i = b\,x_i/a$ . De manera semejante, $z_i = c\,x_i/a$ . Entonces, el área de una cara de la diferencial de volumen es:

$\begin{equation*} A(x) = \frac{1}{2}\,yz = \frac{bcx^2}{2\,a^2} \end{equation*}$

Cuando hacemos que el número de diferenciales tienda a infinito, obtenemos una integral. Los límites de la integral en este caso van desde $x=0$ hasta $x=a$ . Entonces, el volumen del sólido es:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{a}\!\frac{bcx^2}{2\,a^2}\,dx = \frac{abc}{6} \end{equation*}$

Verifica este resultado buscando en algún libro la fórmula para calcular el volumen de una pirámide conocida el área de su base.

En física, el centro de gravedad de un cuerpo es un punto en el cual se puede considerar que está concentrada toda la masa del mismo.

Centro de gravedad

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en el cual se puede considerar que se ejerce la fuerza de atracción debido a la gravedad sobre ese cuerpo.
Si el cuerpo tiene $n$ partículas en las posiciones $\{(x_1,y_1), (x_2,y_2), \cdots, (x_n,y_n)\}$ , y los pesos de cada una de las partículas es: $\{w_1, w_2, \cdots, w_n\}$ las coordenadas del centro de gravedad $C(\bar{x}, \bar{y})$ se pueden calcular con:

$\begin{eqnarray*} \bar{x} &=& \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + w_nx_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_ix_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_i}}\\ \bar{y} &=& \frac{w_1y_1 + w_2y_2 + \cdots + w_ny_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_iy_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_i}} \end{eqnarray*}$

Ejemplo

Realiza el cálculo del centro de gravedad de un cuerpo para el caso contínuo.

Nosotros vamos a considerar que el número de partículas $n$ tienda a infinito. Entonces, la sumatoria se convertirá en una integral. Observa que si multiplicamos la densidad lineal (masa por unidad de distancia) del cuerpo por una distancia, obtenemos la masa del material contenida en esa distancia. Supuesto que nosotros conozcamos la función $\delta(x)$ que nos dé la densidad lineal del cuerpo en $x_i$ , podremos escribir:

$\begin{equation*} \bar{x} =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_ix_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_i}} = \frac{\int\limits_{a}^{b} x\,\delta(x)\,dx}{\int\limits_{a}^{b} \delta(x)\,dx} \end{equation*}$

De manera semejante para la coordenada $\bar{y}$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \bar{y} =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_iy_i}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{w_i}} = \frac{\int\limits_{a}^{b} y\,\delta(y)\,dy}{\int\limits_{a}^{b} \delta(y)\,dy} \end{equation*}$

donde $\delta(y)$ es la función que nos da la densidad lineal del material en la dirección del eje $y$ .

Para resolver el siguiente ejemplo requeriremos de las siguientes definiciones.

Trabajo

En física, el trabajo $W$ realizado por una fuerza $F$ sobre un cuerpo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.

Es decir, si el desplazamiento es cero, el trabajo es nulo.

Ley de Hooke

Cuando un resorte es deformado (dentro de ciertos límites), éste ejerce una fuerza opuesta a la deformación que es proporcional a la magnitud de la deformación sobre el resorte.

Si el resorte tiene inicialmente una longitud $L_0$ :

y se estira hasta alcanzar una distancia $L_0 + x$ , la deformación causa que el resorte se oponga a la fuerza que la está deformando,

La ley de Hooke, matemáticamente expresa:

$\begin{equation*} F = k\,x \end{equation*}$

donde $k$ es una constante que es característica de cada resorte que se llama coeficiente de rigidez y sus unidades son [Newton/metro].

Ejemplo

Calcula el trabajo realizado por una fuerza al deformar un resorte, cuya constante de rigidez es $k$ , una distancia de $x$ unidades de distancia.

Empezamos considerando una pequeña deformación sobre el resorte. Esta deformación mide $dx$ unidades de distancia. Conforme se aplica la fuerza, la deformación va creciendo y podemos considerar que vamos a sumar un número infinito de diferenciales. En este caso, el diferencial del desplazamiento viene siendo $dx$ , y el trabajo es:

$\begin{equation*} W = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n} \textcolor{red}{F}\,dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n} \textcolor{red}{k\,x}\,dx = \int\limits_{0}^{x}\!kx\,dx = \frac{k\,x^2}{2} \end{equation*}$

Observa que en realidad estamos calculando el área de un triángulo de base $x$ y de altura $k\,x$ . Esto es evidente al considerar la interpretación geométrica de la integral:

El área de este triángulo es igual al semi-producto de su base por su altura:

$\begin{equation*} W = \frac{1}{2}\,(x)(k\,x) =\frac{k\,x^2}{2} \end{equation*}$

Ejemplo

Otras aplicaciones de la integral definida en ciencias naturales son las siguientes.

Impulso.
Cuando una partícula de masa $m$ es impulsada por una fuerza $F$ variable, que depende del tiempo, el impulso $p$ (también llamado momento de la partícula) se puede calcular usando:

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}F(t)\,\dt \end{equation*}$

El proceso de deducción de esta integral requiere de ciertos conceptos de física.

Conducción del calor.
Cuando se transfiere energía térmica a través de un medio contínuo como una varilla metálica, la temperatura de la varilla puede ser una función de la distancia desde donde se aplica la energía térmica, digamos, $T(x)$ . Si suponemos que la temperatura del medio ambiente es constante e igual a $T_0$ la cantidad de calor que pierde la varilla en un intervalo $(a, b)$ es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas en esos puntos: $E \propto T(b) - T(a)$ . La pérdida de calor es entonces, para un diferencial de distancia: $k\,(T(b) - T(a))\,\D x$ , y al considerar un número infinito de diferenciales obtenemos la integral:

$\begin{equation*} k\,\int\limits_{a}^{b}\!(T(x) - T_0)\,dx \end{equation*}$

El resultado será la cantidad de calor que la varilla pierde por unidad de tiempo en el intervalo $a \leq x \leq b$ .

Presión de un fluido.
La presión hidrostática que ejerce un fluido (como el agua) en una pared que le sirve de frontera contenedora, es igual al peso de una columna del fluido que tiene una profundidad $h$ y superficie unitaria. La suma de las presiones ejercidas por muchas de esas columnas hará la presión total. La presión $P$ que un líquido ejerce sobre una pared, es entonces,

$\begin{equation*} P = \int\limits_{a}^{b}\!W\,xy\,dx \end{equation*}$

donde $W$ es el peso de un litro del líquido considerado, $a$ y $b$ son las coordenadas de la superficie superior y profundidad del líquido, respectivamente, y $y$ es una función de $x$ que representa la pared que sirve de frontera al fluido.

Acondicionamiento de edificios.
El costo de acondicionar el ambiente de un edificio para que la temperatura interna sea confortable depende principalmente de la temperatura exterior y de la cantidad de luz solar que llegan a sus paredes. Hay otros factores que tienen menor importancia (como el viento) que aquí no se consideran. Si $C$ es el costo de acondicionar un metro cúbico del volumen edificio, este costo, obviamente depende de la hora $t$ del día (porque a diferente hora la cantidad de calor que ganan las paredes por la luz del sol es diferente, al igual que la temperatura atmosférica cambia), así que podemos escribir: $C = C(t)$ .

Si consideramos muchos intervalos de tiempo muy pequeños $\dt$ , y sumamos los costos de acondicionar el ambiente del edificio para cada uno, obtendremos el costo diario de acondicionar ese edificio:

$\begin{equation*} \int\limits_{0}^{24}\!C(t)\,\dt \end{equation*}$

Las integrales definidas también se utilizan en probabilidad, administración, economía, ecología, computación, arquitectura, en las ingenierías (civil, eléctrica, mecánica, etc.) y en muchas otras ramas de las ciencias. Algunos resultados importantes en ingeniería se demuestran con el uso de las integrales definidas.

Por ejemplo, el hecho de que un cuerpo sea una lámina plana nos asegura que su centro de masas $C$ esté dentro de ese cuerpo. Lo mismo ocurre si el cuerpo es una varilla en forma de línea recta.

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Aplicaciones de la integral definida

Aprenderás a resolver algunos problemas en los que se aplica la Integral Definida de funciones de una varaible.

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Centro de gravedad

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Ley de Hooke

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