Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones trigonométricas aplicando las reglas (viii), (ix), (x), (xi) y (xii) del formulario de integrales indefinidas inmediatas. Siempre es importante verificar que el diferencial está completa para poder integrar de manera inmediata.
Ejemplo
Calcula la integral indefinida:
Para calcular esta integral vamos a aplicar la regla (ix). Definimos , entonces:
. Así que tenemos que completar el diferencial multiplicando por 2:
Verifica que la integral indefinida es correcta derivando el resultado.
Algunas veces podremos utilizar el resultado de una integral para calcular más fácilmente otra integral.
Por ejemplo,
es una regla que se deduce del ejemplo anterior y que podemos usar para integrales indefinidas que tengan esa forma.
De manera semejante se puede mostrar que:
Ejemplo
Calcula la integral indefinida
Aplicamos la regla (i) primero:
Ahora aplicamos las reglas (iv), (viii) y (ix).
Ejemplo
Calcula la integral indefinida:
Definiendo , vemos que
. Esto nos está indicando que el diferencial está incompleto. Aplicamos la regla (x) para integrar:
Para algunas de las integrales trigonométricas vamos a requerir del uso de las identidades trigonométricas que puedes encontrar en el capítulo final del libro.
Ejemplo
Calcula la integral indefinida:
Como no tenemos una regla que nos permita calcular la integral, tenemos que transformar el integrando para poderlo integrar.
Utilizamos la identidad trigonométrica:
la cual transformaremos sustituyendo: y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:
Entonces la integral indefinida se puede reescribir como:
Aplicando las reglas (i), (iii) y (ix) de integración indeterminada inmediata:
Y terminamos.
Ejemplo
Calcula la integral indefinida:
La identidad trigonométrica que nos auxiliará a calcular esta integral es:
que vamos a transformar para obtener:
Y la integral será:
Integramos aplicando las mismas reglas que en el ejemplo anterior:
Más adelante vamos a estudiar cómo integrar potencias de funciones trigonométricas. En la siguiente sección estudiaremos un método que nos ayuda a integrar funciones irracionales que contienen en sus argumentos formas como: ,
,
, etc.
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