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Antiderivada de funciones trigonométricas

Aprenderás a calcular la antiderivada de funciones trigonométricas.
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Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones trigonométricas aplicando las reglas (viii), (ix), (x), (xi) y (xii) del formulario de integrales indefinidas inmediatas. Siempre es importante verificar que el diferencial está completa para poder integrar de manera inmediata.

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\cos(2\,x)\,dx \end{equation*}

Para calcular esta integral vamos a aplicar la regla (ix). Definimos v = 2\,x, entonces: dv = 2\,dx. Así que tenemos que completar el diferencial multiplicando por 2:

    \begin{equation*} \int\!\cos(2\,x)\,dx = \frac{1}{2}\int\!\cos(2\,x)(2\,dx) = \frac{1}{2}\sin(2\,x) + C \end{equation*}

Verifica que la integral indefinida es correcta derivando el resultado.

Algunas veces podremos utilizar el resultado de una integral para calcular más fácilmente otra integral.

Por ejemplo,

    \begin{equation*} \int\!\cos (ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin (ax) + C \end{equation*}

es una regla que se deduce del ejemplo anterior y que podemos usar para integrales indefinidas que tengan esa forma.

De manera semejante se puede mostrar que:

    \begin{equation*} \int\!\sin (ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos (ax) + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida

    \begin{equation*} \int\!(x - \sin x + \cos (2x))\,dx \end{equation*}

Aplicamos la regla (i) primero:

    \begin{equation*} \int\!(x - \sin x + \cos (2x))\,dx = \int\!x\,dx - \int\!\sin x\,dx + \int\!\cos (2x)\,dx \end{equation*}

Ahora aplicamos las reglas (iv), (viii) y (ix).

    \begin{equation*} \int\!x\,dx - \int\!\sin x\,dx + \int\!\cos (2x)\,dx = \frac{x^2}{2} + \cos x + \frac{1}{2}\,\sin (2x) + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\csc^2(3x)\,dx \end{equation*}

Definiendo v = 3\,x, vemos que dv = 3\,dx. Esto nos está indicando que el diferencial está incompleto. Aplicamos la regla (x) para integrar:

    \begin{equation*} \int\!\csc^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\,\int\!\csc^2(3x)\,(3\,dx) = -\frac{\cot(3x)}{3} + C \end{equation*}

Para algunas de las integrales trigonométricas vamos a requerir del uso de las identidades trigonométricas que puedes encontrar en el capítulo final del libro.

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\sin^2 x \,dx \end{equation*}

Como no tenemos una regla que nos permita calcular la integral, tenemos que transformar el integrando para poderlo integrar.
Utilizamos la identidad trigonométrica:

    \begin{equation*} \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \end{equation*}

la cual transformaremos sustituyendo: x = \alpha / 2 y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

    \begin{equation*} \sin^2(x) = \frac{1 - \cos (2\,x)}{2} \end{equation*}

Entonces la integral indefinida se puede reescribir como:

    \begin{equation*} \int\!\sin^2 x \,dx = \frac{1}{2}\,\int\!\left(1 - \cos(2x)\right)\,dx \end{equation*}

Aplicando las reglas (i), (iii) y (ix) de integración indeterminada inmediata:

    \begin{eqnarray*} \int\!\sin^2 x \,dx &=& \frac{1}{2}\,\int\!\left(1 - \cos(2x)\right)\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\,\int\!dx - \frac{1}{2}\,\int\!\cos(2x)\,dx\\ &=& \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin(2x) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\cos^2(5x)\,dx \end{equation*}

La identidad trigonométrica que nos auxiliará a calcular esta integral es:

    \begin{equation*} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \end{equation*}

que vamos a transformar para obtener:

    \begin{equation*} \cos^2(\textcolor{red}{\xi}) = \frac{1 + \cos (\textcolor{blue}{2\xi})}{2} \end{equation*}

Y la integral será:

    \begin{equation*} \int\!\cos^2(\textcolor{red}{5\,x})\,dx = \frac{1}{2}\int\!(1 + \cos(\textcolor{blue}{10x}))\,dx \end{equation*}

Integramos aplicando las mismas reglas que en el ejemplo anterior:

    \begin{eqnarray*} \int\!\cos^2(5\,x)\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!(1 + \cos(10x))\,dx\\ &=& \frac{1}{2}\int\!dx + \frac{1}{20}\int\!\cos(10x)\,dx\\ &=& \frac{x}{2} + \frac{1}{200}\sin(10x) + C \end{eqnarray*}

Más adelante vamos a estudiar cómo integrar potencias de funciones trigonométricas. En la siguiente sección estudiaremos un método que nos ayuda a integrar funciones irracionales que contienen en sus argumentos formas como: a^2 - v^2, v^2 + a^2, v^2 - a^2, etc.

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