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Antiderivada de funciones exponenciales

Aprenderás a calcular antiderivadas de funciones exponenciales.

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Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma:

    \begin{equation*}    y = e^{v}\qquad\mbox{ y }\qquad y = a^{v} \end{equation*}

Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de integración (vi) y (vii).


Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!e^{2x}\,dx \end{equation*}

Debemos usar la regla de integración (vii). Para eso definimos: \textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{2\,x}. Entonces, la diferencial \textcolor{red}{dv} = \textcolor{red}{2\,dx}. Pero en el integrando falta un 2 para que esté completo la diferencial y podamos aplicar la regla. Para completorla vamos a aplicar el siguiente truco: Dado que la regla (ii) nos permite sacar de la integral una constante, vamos a multiplicar en el integrando por 2/2, vamos a dejar dentro del integrando al 2 del numerador y vamos a sacar de la integral al 2 del denominador:

    \begin{equation*}    \int\!e^{2x}\,dx = \int\!e^{2x}\,\left(\frac{2}{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int\!e^{\textcolor{blue}{2x}}\,(\textcolor{red}{2\,dx}) = \frac{1}{2}\,e^{2x} + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\left(1 - e^{-x}\right)\,dx \end{equation*}

Primero aplicamos la regla (i) de integración:

    \begin{equation*}    \int\!\left(1 - e^{-x}\right)\,dx = \int\!dx - \int\!e^{-x}\,dx \end{equation*}

Ahora aplicamos las reglas (iii) y (vii) para terminar. Observa que si en la segunda integral definimos v = -x, entonces, dv = -dx, por lo que tenemos que completor la diferencial:

    \begin{equation*}    \int\!dx - \int\!e^{-x}\,dx = x + e^{-x} + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!24\,x^3\,e^{2x^4}\,dx \end{equation*}

Tenemos el producto de dos funciones, pero posiblemente una de ellas sea la diferencial del argumento de la otra.
Si definimos v = 2\,x^4, tenemos que: dv = 8\,x^3. Entonces, podemos reescribir la integral como:

    \begin{equation*}    \int\!24\,x^3\,e^{2x^4}\,dx = 3\int\!e^{2x^4}\left(8\,x^3\,dx\right) \textcolor{red}{= 3\int\!e^{v}(dv)} \end{equation*}

Ahora la integral es inmediata:

    \begin{equation*}    3\int\!e^{2x^4}\left(8\,x^3\,dx\right) = 3\,e^{2\,x^4} + C \end{equation*}

Observa que ahora la integral estaba completo, multiplicada, además por 3.



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!x\,e^{x^2}\,dx \end{equation*}

Si hacemos \textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{x^2}, vemos que \textcolor{red}{dv} = \textcolor{red}{2\,x\,dx}.
Entonces, la integral realmente es:

    \begin{equation*}    \int\!e^{\textcolor{blue}{x^2}}\left(\frac{\textcolor{red}{2}}{2}\,\textcolor{red}{x\,dx}\right)  	= \frac{1}{2}\,\int\!e^{\textcolor{blue}{x^2}}\left(\textcolor{red}{2\,x\,dx}\right) 	\textcolor{red}{= \frac{1}{2}\int\!e^{v}(dv)} \end{equation*}

Ahora integramos aplicando al regla (vii):

    \begin{equation*}    \int\!x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\,\int\!e^{x^2}(2\,x\,dx) = \frac{1}{2}\,e^{x^2} + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!2^{x}\,dx \end{equation*}

Aplicamos directamente la regla (vi) de integración:

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    \begin{equation*}    \int\!2^{x}\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!2^{x}e^{2^x}\,dx \end{equation*}

Primero verificamos que el diferencial esté completo. Para eso vamos a utilizar la regla de derivación (xv).
Si v = 2^x, entonces

    \begin{equation*}    dv = 2^x\,\ln 2\,dx \end{equation*}

Observa que el diferencial está incompleto. Falta multiplicarla por la constante \ln 2. Ahora reescribimos la integral de la forma:

    \begin{equation*}    \int\!e^{2^x}\,\left(\frac{2^{x}\,\ln 2\,dx}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2}\int\!e^{2^x}\,\left(2^{x}\,\ln 2\,dx\right) 	= \frac{1}{\ln 2}\int\!e^{v}\,dv  	= \frac{e^v}{\ln 2} + C = \frac{e^{2^x}}{\ln 2} + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!e^x\,\left(e^x + 17\right)^{19}\,dx \end{equation*}

No es buena idea desarrollar el binomio a la potencia 19. Mejor definimos: v = e^x + 17 y vemos que dv = e^x\,dx. Esto significa que el diferencial está completo.
Entonces,

    \begin{equation*}    \int\!e^x\,\left(e^x + 17\right)^{19}\,dx = \int\!\left(e^x + 17\right)^{19}\,\left(e^x\,dx\right) = \frac{\left(e^x + 17\right)^{20}}{20} + C \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{e^x + 1} \end{equation*}


Empezamos observando que no hay alguna regla de integración inmediata que nos permita calcular esta integral. Así que tendremos que transformarla algebraicamente hasta obtener una integral inmediata. Empezamos factorizando e^x en el denominador:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{dx}{e^x + 1} = \int\!\frac{dx}{e^x\left(1 + e^{-x}\right)}  	= \int\!\frac{e^{-x}\,dx}{1 + e^{-x}} \end{equation*}

Ahora podemos definir: v = 1 + e^{-x}, y tenemos que dv = -e^{-x}. completomos el diferencial multiplicando por -1 tanto dentro como fuera de la integral:

    \begin{equation*}    \int\!\frac{e^{-x}\,dx}{1 + e^{-x}} = -\int\!\frac{- e^{-x}\,dx}{1 + e^{-x}} 	= -\int\!\frac{dv}{v}  	= -\ln\left(1 + e^{-x}\right) + C \end{equation*}

Todavía podemos simplificar este resultado utilizando las propiedades de los logaritmos:

    \begin{eqnarray*}    \int\!\frac{dx}{e^x + 1} &=& -\ln\left(1 + e^{-x}\right) + C\\ 	&=& -\ln\left(1 + \frac{1}{e^x}\right) + C\\ 	&=& -\ln\left(\frac{1 + e^x}{e^x}\right) + C\\ 	&=& -\ln\left(1 + e^x\right) + \ln\left(e^x\right) + C\\ 	&=& x - \ln\left(1 + e^x\right) + C \end{eqnarray*}

Y terminamos.


En caso de que el diferencial requiera de multiplicarse por una variable para completarlo, será imposible, dado que en la regla (ii) de integración se supone que a es una constante. Por ejemplo, en la integral:

    \begin{equation*}    \int\!e^{x^2}\,\textcolor{red}{dx} \end{equation*}

Si definimos v = x^2, tenemos que dv = \textcolor{blue}{2\,x}\,\textcolor{red}{dx}. Así que el diferencial está incompleto. Pero en este caso debemos multiplicar por \textcolor{blue}{2\,x}, que no es constante. Así que no podemos completor el diferencial. De hecho, esta integral no se puede calcular con los métodos que hemos visto hasta aquí. Pero sí hay métodos para calcularla de manera aproximada.

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