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Integral indefinida de funciones algebraicas

Aprenderás a calcular la antiderivada de funciones algebraicas elementales.
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En esta lección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones algebraicas.

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!(x^2 - 1)\,dx \end{equation*}

Empezamos aplicando la regla (i) para separar el integrando y así formar dos integrales:

    \begin{equation*} \int\!(x^2 - 1)\,dx = \int\!x^2\,dx - \int\!dx \end{equation*}

Ahora aplicamos las reglas (iii) y (iv) para calcular las integrales.
Para la primera integral, tenemos n = 2, con lo que n+1 = 3:

    \begin{equation*} \int\!x^2\,dx - \int\!dx = \frac{x^3}{3} - x + C \end{equation*}

Observa que en el ejemplo anterior teníamos que sumar dos constantes. Pero el resultado de sumar dos constantes es igual a otra constante, por eso solamente se incluye una al final.

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\left(2\,x + \frac{x^2}{2} + 4\,x^3\right)\,dx \end{equation*}

Empezamos aplicando la regla (i) de integración:

    \begin{equation*} \int\!\left(2\,x + \frac{x^2}{2} + 4\,x^3\right)\,dx = \int\!2\,x\,dx + \int\!\frac{x^2}{2}\,dx + \int\!4\,x^3\,dx \end{equation*}

Ahora aplicamos la regla (ii) en cada integral:

    \begin{equation*} \int\!2\,x\,dx + \int\!\frac{x^2}{2}\,dx + \int\!4\,x^3\,dx = 2\,\int\!x\,dx + \frac{1}{2}\int\!x^2\,dx + 4\,\int\!x^3\,dx \end{equation*}

Aplicamos la regla de integración (iv) y después simplificamos:

    \begin{eqnarray*} 2\,\int\!x\,dx + \frac{1}{2}\int\!x^2\,dx + 4\,\int\!x^3\,dx &=& 2\,\left(\frac{x^2}{2}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{x^3}{3}\right) + 4\,\left(\frac{x^4}{4}\right) + C\\ &=& x^2 + \frac{x^3}{6} + x^4 + C \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \int\!\left(2\,x + \frac{x^2}{2} + 4\,x^3\right)\,dx = x^2 + \frac{x^3}{6} + x^4 + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\frac{x^4 + x^2 - 1}{x}\,dx \end{equation*}

Para calcular esta integral indefinida empezamos aplicando la regla (i):

    \begin{equation*} \int\!\frac{x^4}{x}\,dx + \int\!\frac{x^2}{x}\,dx - \int\!\frac{1}{x}\,dx \end{equation*}

Al simlificar los integrandos obtenemos:

    \begin{equation*} \int\!x^3\,dx + \int\!x\,dx - \int\!\frac{1}{x}\,dx \end{equation*}

Ahora podemos aplicar la regla (iv):

    \begin{equation*} \int\!x^3\,dx + \int\!x\,dx - \int\!\frac{dx}{x} = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} - \ln x + C \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} \int\!\frac{x^4 + x^2 - 1}{x}\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} - \ln x + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right)\,dx \end{equation*}

Empezamos aplicando la regla (i):

    \begin{equation*} \int\!\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right)\,dx = \int\!dx + \int\!\frac{1}{x}\,dx + \int\!\frac{1}{x^2}\,dx - \int\!\frac{1}{x^3}\,dx \end{equation*}

Ahora vamos a expresar cada integral con un exponente negativo, salvo la segunda, que ya sabemos cómo integrar:

    \begin{equation*} \int\!dx + \int\!\frac{1}{x}\,dx + \int\!\frac{1}{x^2}\,dx - \int\!\frac{1}{x^3}\,dx = \int\!dx + \int\!\frac{dx}{x} + \int\!x^{-2}\,dx - \int\!x^{-3}\,dx \end{equation*}

Ahora podemos aplicar las reglas de integración (iii), (iv) y (v):

    \begin{eqnarray*} \int\!dx + \int\!\frac{dx}{x} + \int\!x^{-2}\,dx - \int\!x^{-3}\,dx &=& x + \ln x + \frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{-2}}{-2} + C\\ &=& x + \ln x - \frac{1}{x} + \frac{1}{-2\,x^2} + C \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \int\!\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right)\,dx = x + \ln x - \frac{1}{x} + \frac{1}{-2\,x^2} + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!(2\,x - 7)^{21}\,dx \end{equation*}

No es una buena idea empezar este problema desarrollando el binomio a la potencia 21. Mejor observa que si definimos: v = 2\,x - 7, entonces, dv = 2\,dx. Entonces, hace falta completar la diferencial para poder integrar. Para eso multiplicamos por 2/2 y factorizamos fuera de la integral al 2 del denominador:

    \begin{equation*} \int\!(2\,x - 7)^{21}\,\left(\frac{2}{2}dx\right) = \frac{1}{2}\int\!(2\,x - 7)^{21}\,(2\,dx) \end{equation*}

Ahora podemos aplicar la regla (iv):

    \begin{eqnarray*} \int\!(2\,x - 7)^{21}\,dx &=& \frac{1}{2}\int\!(2\,x - 7)^{21}\,(2\,dx) \\ &=& \frac{1}{2}\cdot\frac{(2\,x - 7)^{22}}{22} + C\\ &=& \frac{(2\,x - 7)^{22}}{44} + C \end{eqnarray*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!x^3\sqrt{x^4 - 1}\,dx \end{equation*}

El integrando no aparece en alguna de las reglas conocidas por nosotros aún. Pero podemos hacer la siguiente transformación: Definimo: v = x^4 - 1. Entonces, dv = 4\,x^3\,dx\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{red}{x^3\,dx} = \frac{dv}{4}. Esto nos permite reescribir la integral indefinida como:

    \begin{equation*} \int\!x^3\sqrt{x^4 - 1}\,dx = \int\!\sqrt{x^4 - 1}\,\left(\textcolor{red}{x^3\,dx}\right) = \int\!\sqrt{v}\,\left(\frac{dv}{4}\right) = \frac{1}{4}\int\!\sqrt{v}\,dv = \frac{1}{4}\int\!v^{1/2}\,dv \end{equation*}

Ahora podemos aplicar la regla (iv):

    \begin{equation*} \frac{1}{4}\int\!v^{1/2}\,dv = \frac{1}{4} \frac{v^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{4}\cdot\frac{2\,v^{3/2}}{3} + C = \frac{v^{3/2}}{6} + C \end{equation*}

Regresando todo en términos de x, obtenemos:

    \begin{equation*} \int\!x^3\sqrt{x^4 - 1}\,dx = \frac{\left(x^4 - 1\right)^{3/2}}{6} + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\left(8\,x^3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx \end{equation*}

Aplicando la regla (i) y las leyes de los exponentes, podemos transformar la integral a la siguiente forma:

    \begin{equation*} \int\!\left(8\,x^3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = 8\,\int\!x^3dx - \int\!(x)^{-1/2}\,dx \end{equation*}

Ahora podemos integrar cada una de las integrales que quedaron indicadas aplicando la regla (iv):

    \begin{equation*} 8\,\int\!x^3dx - \int\!(x)^{-1/2}\,dx = 8\,\left(\frac{x^4}{4}\right) - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\,x^4 - 2\,\sqrt{x} + C \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} \int\!\left(8\,x^3 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx = 2\,x^4 - 2\,\sqrt{x} + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\left(\frac{x + 2}{x\,\sqrt{x}}\right)\,dx \end{equation*}

Podemos transformar la integral a la siguiente forma:

    \begin{equation*} \int\!\left(\frac{x + 2}{x\,\sqrt{x}}\right)\,dx = \int\!\frac{dx}{\sqrt{x}} + \int\!\frac{2\,dx}{x\,\sqrt{x}} = \int\!\frac{dx}{x^{1/2}} + \int\!\frac{2\,dx}{x^{3/2}} \end{equation*}

Cada una de estas integrales es inmediata:

    \begin{eqnarray*} \int\!\frac{dx}{x^{1/2}} + \int\!\frac{2\,dx}{x^{3/2}} &=& \int\!x^{-1/2}\,dx + \int\!2\,x^{-3/2}\,dx \\ &=& \frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{2\,x^{-1/2}}{-1/2} + C\\ &=& 2\,\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \int\!\left(\frac{x + 2}{x\,\sqrt{x}}\right)\,dx = 2\,\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C \end{equation*}

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

    \begin{equation*} \int\!\left(\frac{x^3}{x^4 - 1}\right)\,dx \end{equation*}

Para calcular esta integral observa que si definimos:

    \begin{equation*} v = x^4 - 1\qquad\Rightarrow\qquad dv = 4\,x^3\,dx\qquad\Rightarrow\qquad x^3\,dx = \frac{dv}{4} \end{equation*}

Entonces, haciendo la sustitución v = x^4 - 1, transformamos la integral a:

    \begin{equation*} \int\!\frac{x^3\,dx}{x^4 - 1} = \int\!\frac{dv}{4\,v} = \frac{1}{4}\,\int\!\frac{dv}{v} = \frac{1}{4}\ln v + C = \frac{1}{4}\ln \left(x^4 - 1\right) + C \end{equation*}

Para el cálculo de las integrales de funciones algebraicas, el truco consiste en transformar el integrando para obtener integrales inmediatas. Es decir, escribirla en forma que se puedan integrar utilizando las fórmulas conocidas. Algunas veces una manipulación algebraica bastará. En otros casos se va a requerir una sustitución.

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