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Ángulos notables

Aprenderás a calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos notables.

Los ángulos notables son aquellos que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas. Estos ángulos son los que miden:
30\textdegree, 45\textdegree y 60\textdegree. Para calcular los valores de las funciones trigonométricas vamos a dibujar triángulos rectángulos que tengan a estos ángulos en uno de sus ángulos internos. Para esto, utilizamos la figura utilizada en secciones previas:

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Dado que el triángulo es rectángulo, y uno de los ángulos agudos mide 30\textdegree, el otro debe medir 60\textdegree. Con eso, podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos. Ya calculamos los valores para 30\textdegree. Ahora calculamos los valores para 60\textdegree modificando la figura como se muestra enseguida:

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Observa que la altura del cuadrado mide 2\sqrt{3}, porque al aplicar el teorema de Pitágoras:

    \begin{equation*}    h = \sqrt{(4)^2 - (2)^2} = \sqrt{12} = \sqrt{(3)(4)}= \sqrt{(3)(2)^2} = 2\sqrt{3} \end{equation*}

Los valores de las funciones trigonométricas para \theta=60\textdegree son:

     \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} \sin 60\textdegree &=& \frac{y}{r} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos 60\textdegree &=& \frac{x}{r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\ \tan 60\textdegree &=& \frac{y}{x} = \frac{2\,\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} \csc 60\textdegree &=& \frac{r}{y} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\,\sqrt{3}}{3}\\ \sec 60\textdegree &=& \frac{r}{x} = \frac{4}{2} = 2\\ \cot 60\textdegree &=& \frac{x}{y} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*} \end{minipage}

Para calcular los valores correspondientes al ángulo de 45\textdegree, vamos a trazar un cuadrilátero regular (un cuadrado) y vamos a considerar una de sus diagonales:

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Para calcular la longitud de la diagonal del cuadrado utilizamos el teorema de Pitágoras:

    \begin{equation*}    D = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{2(3)^2} = 3\sqrt{2} \end{equation*}

Consideramos solamente el triángulo que se forma con dos de los lados
del cuadrado y su diagonal que corresponde a la hipotenusa del
triángulo rectángulo:

     \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} \sin 45\textdegree &=& \frac{y}{r} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos 45\textdegree &=& \frac{x}{r} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan 45\textdegree &=& \frac{y}{x} = \frac{3}{3} = 1 \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} \csc 45\textdegree &=& \frac{r}{y} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}\\ \sec 45\textdegree &=& \frac{r}{x} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}\\ \cot 45\textdegree &=& \frac{x}{y} = \frac{3}{3} = 1 \end{eqnarray*} \end{minipage}

Con los valores obtenidos podemos crear la siguiente tabla de resumen
de los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:

%

    \[{\setlength{\arraycolsep}{1em} \begin{array}{ccccccc} \hline \theta	&	\sin\theta	&	\cos\theta	&	\tan\theta	&	\csc\theta	&	\sec\theta	& \cot\theta\\ \hline %0			&	0 30\textdegree	&	\displaystyle\frac{1}{2}	&	\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}	&	\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}	&	2	&	\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}	&	\sqrt{3}\\ 45\textdegree			&	\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}	&	\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}	&	1	&	\sqrt{2}	&	\sqrt{2}	&	1\\ 60\textdegree	&	\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}	&	\displaystyle\frac{1}{2}	&	\sqrt{3}	&	\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}	&	2	&	\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \hline \end{array} }\]

Estos valores nos serán de gran utilidad para resolver problemas en lo sucesivo.

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