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Ángulos en el plano

Aprenderás la clasificación de los ángulos en el plano.


Rectas perpendiculares

Dos rectas \ell_1 y \ell_2 son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos rectos, y esto se denota por \ell_1\perp\ell_2.

En la siguiente figura, las rectas \ell_1 y \ell_2 son perpendiculares:

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Teorema

Solamente se puede trazar una perpendicular a una recta desde un punto.

Para trazar una perpendicular a una recta desde un punto fuera de ésta podemos usar el siguiente procedimiento.


Ejemplo

Traza una perpendicular a una recta dada desde un punto externo.

Empezamos dibujando la recta a la cual se le trazará la perpendicular:

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Ahora vamos a trazar una perpendicular que pase por el punto P. Con este fin, apoyando el compás en el punto P trazamos dos arcos que corten la recta \ell_1 como se muestra enseguida:

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donde A y B son los puntos de intersección del arco con la recta \ell_1. Ahora vamos a trazar, con el mismo radio, apoyándonos primero en A y luego en B dos arcos que se corten. El punto de intersección de los dos arcos lo llamaremos Q, como se muestra enseguida:

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Trazamos la recta que pasa por los puntos P y Q. Denotamos a esta recta por \ell_2.

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Se cumple que \ell_1\perp\ell_2.


Este mismo procedimiento se utiliza para dividir un segmento en dos partes iguales.


Ejemplo

Traza una perpendicular a una recta dada desde uno de sus puntos.

Empezamos dibujando la recta \ell_1 y el punto P por el cual pasará la perpendicular a \ell_1:

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Ahora, con ayuda del compás vamos a trazar dos arcos que corten la recta \ell_1 apoyándonos en el punto P, como se muestra enseguida:

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Ahora vamos a trazar, con una mayor abertura del compás, dos arcos que se corten, apoyándonos primero en el punto A y luego en B.

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Ahora basta unir los puntos P y Q para obtener la recta \ell_2 perpendicular a \ell_1:

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Teorema

Dos rectas \ell_1 y \ell_2 situadas en un mismo plano y perpendiculares a una tercera recta \ell_3, son paralelas entre sí.

Demostración

Si las rectas \ell_1 y \ell_2 no fueran paralelas, se podrían prolongar lo suficiente hasta que se cortaran en un punto de intersección P. Así que sería posible trazar dos perpendiculares a la recta \ell_3 desde el punto P, lo cual es imposible de acuerdo al teorema anterior.

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El siguiente teorema está relacionado con el anterior.


Teorema

Dos rectas \ell_1 y \ell_2 situadas en un mismo plano y paralelas a una tercera recta \ell_3, son paralelas entre sí.

Demostración

Empezamos suponiendo que \ell_1 y \ell_2 son paralelas a \ell_3. Debemos demostrar que \ell_1\parallel\ell_2. Si no lo fueran, entonces deberían cortarse en un punto de intersección P. Esto significa que debería ser posible trazar dos rectas paralelas a la recta \ell_3 desde el punto P, lo cual es imposible por el postulado de las paralelas. Por lo tanto, \ell_1\parallel\ell_2.

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Ahora veremos cómo trazar una recta paralela a otra dada por un punto dado. Obviamente, el punto dado debe ser externo a la recta dada, pues si el punto está sobre la recta, la paralela será ella misma: toda recta es paralela a sí misma.


Ejemplo

Traza una recta paralela a una recta \ell_1 dada por un punto P dado.

Empezamos dibujando la situación:

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Ahora trazamos una recta perpendicular a \ell_1 por el punto P:

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Para terminar trazamos una perpendicular a \ell_2 que pase por el punto P:

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La recta \ell_3 es paralela a \ell_1.


Si dos rectas se cortan, pero no son perpendiculares entonces se dice que son oblícuas.


Rectas oblícuas

Dos rectas en un mismo plano son oblícuas si no son ni paralelas ni perpendiculares.

Las rectas \ell_1 y \ell_2 de la siguiente figura son oblícuas:

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Algunas definiciones que servirán para resolver algunos problemas son las siguientes:


Bisectriz

Recta que divide a un ángulo en dos ángulos de la misma medida.

En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo. La siguiente figura muestra un ángulo con su bisectriz:

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Para trazar la bisectriz de un ángulo utilizamos el procedimiento que se explica en el siguiente ejemplo.


Ejemplo

Traza una bisectriz a un ángulo dado.

Empezamos mostrando el ángulo al cual trazaremos la bisectriz:

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Primero abrimos el compás para dibujar dos arcos que corten, uno a cada lado del ángulo:

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Ahora, apoyándonos en cada punto de intersección generados con estos trazos, volvemos a trazar dos arcos, que se corten entre ellos.

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Para terminar sólo falta trazar la recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto Q:

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La bisectriz tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos equidista de los lados del ángulo.

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Observa cómo se construyó la bisectriz del ángulo: se tomaron dos puntos equidistantes del vértice del ángulo y con éstos se construyó un punto Q equidistante de los lados del mismo. Al unir el vértice del ángulo con Q obtenemos la bisectriz del ángulo.

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