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Ángulos en el plano

Aprenderás la clasificación de los ángulos en el plano.


Medición

Ya se mencionó que la medida del ángulo da una idea de la abertura entre sus lados. A mayor abertura entre los lados del ángulo, mayor es su medida. En geometría, los ángulos se miden siempre en el sentido contrario de giro de las manecillas del reloj.

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Si un ángulo se requiere medir en el mismo sentido en que giran las manecillas del reloj, consideramos su medida negativa. Las unidades de medida del ángulo que consideraremos por ahora son los grados sexagesimales.


Grados sexagesimales

Unidad de medida de ángulo equivalente a un 1/360 parte de la vuelta completa. Un grado sexagesimal se denota con el símbolo: \textdegree, y generalmente se le llama diciendo solamente “grado”.

El instrumento que utilizamos para medir ángulos se llama transportador.


Transportador

Instrumento para medir la magnitud de un ángulo. La escala que utilizan los transportadores es el grado sexagesimal.

La siguiente figura muestra un transportador:

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Para medir un ángulo primero ubicamos el centro del transportador en el vértice del ángulo, y el origen (cero) sobre el lado inicial del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

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La medida del ángulo \gamma mostrado en la figura anterior es: \gamma = 75\textdegree. También frecuentemente encontraremos dos ángulos que comparten el vértice y un lado.


Ángulos adyacentes

Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y comparten un lado común ubicado entre ellos.

En la siguiente figura los dos ángulos son adyacentes:

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Los ángulos \alpha y \beta tienen un mismo punto por vértice y tienen un lado en común que queda entre los otros lados, por eso son adyacentes.


Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice si la prolongación de los lados de uno son los ángulos del otro.

Los siguientes ángulos son opuestos por el vértice:

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Teorema

Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.

Demostración

Consideramos la figura:

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De la figura es evidente que: \alpha + \delta = 180\textdegree, y también que \beta + \delta = 180\textdegree. Esto nos permite igualar:

    \begin{equation*}    \alpha + \delta = \beta + \delta \end{equation*}

Restando \delta de ambos lados de la igualdad obtenemos: \alpha = \beta. En palabras, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.




Otros pares de ángulos que se definen en geometría por su frecuente aparición en la resolución de problemas son los que a continuación se mencionan.


Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo recto. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 90\textdegree, entonces los ángulos son complementarios.

En la siguiente figura, los ángulos \alpha y \beta son complementarios.

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No se requiere que los ángulos sean adyancentes para que sean complementarios. Basta con que la suma de sus medidas sea 90\textdegree. Entonces decimos que el ángulo \alpha es el complemento del ángulo \beta y también que el ángulo \beta es el complemento del ángulo \alpha.


Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo llano. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 180\textdegree, entonces los ángulos son complementarios.

En la siguiente figura, los ángulos \alpha y \beta son suplementarios.

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De manera semejante a los ángulos complementarios, no se requiere que los ángulos sean adyancentes para que sean suplementarios. Basta con que la suma de sus medidas sea 180\textdegree. Entonces decimos que el ángulo \alpha es el suplemento del ángulo \beta y también que el ángulo \beta es el suplemento del ángulo \alpha.

Observa que la suma de dos ángulos adyacentes que se forman al cortarse dos rectas es igual a 180\textdegree. En otras palabras, si la suma de dos ángulos adyacentes es igual a 180\textdegree, entonces los lados no comúnes están sobre una línea recta. También podemos decir que si dos ángulos adyacentes son suplementarios, entonces sus lados externos están en la misma línea recta.

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Más aún, si formamos varios ángulos con vértice común y en uno de los lados de una línea recta, la suma de todos ellos es igual a 180\textdegree:

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Teorema

Si dos ángulos tienen el mismo suplemento son iguales.

Demostración

Si los ángulos \alpha y \beta tienen el mismo suplemento, denotado por \xi, entonces cumplen:

    \begin{eqnarray*} \alpha + \xi = 180\textdegree \qquad&\Rightarrow& \alpha = 180\textdegree - \xi\\ \beta + \xi = 180\textdegree \qquad&\Rightarrow& \beta = 180\textdegree - \xi \end{eqnarray*}

Como ambos, \alpha y \beta son iguales a 180 - \xi, deben ser iguales entre sí.


Este mismo método puede utilizarse para demostrar el siguiente teorema, el cual se te queda como ejercicio.


Teorema

Si dos ángulos tienen el mismo complemento son iguales.


Ángulos conjugados

Dos ángulos son conjugados si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo perigonal. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 360\textdegree, entonces los ángulos son conjugados.

Los ángulos \alpha y \beta mostrados en la siguiente figura son conjugados:

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El ángulo \alpha es el conjugado del ángulo \beta y también que el ángulo \beta es el conjugado del ángulo \alpha. Cuando dos rectas se cortan, pueden formarse cuatro ángulos iguales. En ese caso decimos que las rectas son perpendiculares.



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