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Ángulos de cualquier magnitud

Aprenderás por qué las funciones trigonométricas son periódicas y a calcular su valor para ángulos de cualquier medida.

Ahora vamos a utilizar la ciruncferencia unitaria para descubrir algunas propiedades de las funciones trigonométricas. Empezamos con las funciones \sin\theta y \cos\theta. Al variar el valor del ángulo \theta el radio sobre la circunferencia unitaria va girando desde 0\textdegree hasta 360\textdegree y para valores mayores los valores de las funciones trigonométricas se vuelven a repetir.

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Recuerda que la proyección horizontal del radio es igual al valor de la función coseno y que la proyección vertical del radio es igual al valor de la función seno. Cuando \theta = 0\textdegree = 0\,\mathrm{rad}, la función coseno tiene una proyección horizontal de longitud igual al radio. Es decir, \cos(0) = 1.

Conforme los valores de \theta van creciendo, los valores de la función \cos\theta van decreciendo, hasta llegar al valor cero cuando \theta=90\textdegree = \pi/2\,\mathrm{rad}.

Para ángulos mayores a 90\textdegree las proyecciones horizontales del radio se van al lado negativo, pues no caen sobre el lado inicial del ángulo, y los valores de la función \cos\theta van creciendo, pero con valores negativos, hasta llegar a tomar el valor -1 cuando \theta=180\textdegree = \pi\,\mathrm{rad}.

Cuando \theta rebasa los 180\textdegree, los valores de la función coseno vuelven a decrecer (siendo negativos), hasta llegar al valor 0 cuando \theta=270\textdegree = (3\pi/2)\,\mathrm{rad}.

Finalmente, cuando el ángulo \theta rebasa los 270\textdegree, la función coseno vuelve a tomar valores positivos crecientes, hasta que alcanza el máximo valor a los 360\textdegree = 2\pi\,\mathrm{rad}, y los valores se vuelven a repetir de nuevo.

Una discusión similar corresponde a la función seno. Cuando \theta = 0\textdegree, la proyección vertical del radio es un punto, por eso, \sin (0) = 0. Conforme el ángulo \theta va creciendo, las proyecciones verticales también crecen, y son positivas, llegando a un máximo cuando \theta = 90\textdegree. Entonces, \sin\theta = 1, siendo \theta = 90\textdegree = \pi/2\,\mathrm{rad}.

Al seguir creciendo \theta > 90\textdegree, los valores de la función seno van decreciendo, pero siguen siendo positivos, hasta que \theta alcanza un valor de 180\textdegree, porque en ese punto la proyección vertical del radio de nuevo es un punto al igual que al inicio y tenemos: \sin(180\textdegree) = 0.

Cuando \theta rebasa los 180\textdegree, los proyecciones verticales del radio quedan por debajo del eje horizontal y por eso son negativas. Los valores de la función seno van creciendo negativamente hasta alcanzar el valor -1 para un ángulo \theta = 270\textdegree. Para ángulos \theta entre 270\textdegree y 360\textdegree los valores de la función seno van decreciendo en valor absoluto, pero siendo negativos y llegando a cero cuando \theta = 360\textdegree.

Todo este ciclo se repite de nuevo si hacemos crecer aún más el ángulo \theta. Por eso, generalmente nos quedamos con el estudio de los valores de las funciones trigonométicas utilizando solamente el intervalo 0\textdegree \leq \theta \leq 360\textdegree, pues para valores mayores de \theta podemos imaginarnos que giramos varias veces (cuantas veces sea necesario) para que \theta coincida con un ángulo en el intervalo inicial (0\textdegree \leq \theta \leq 360\textdegree) y obtener los valores de las funciones de aquí. En otras palabras, los valores de las funciones trigonométricas se van repitiendo cada 360\textdegree. Por eso decimos que las funciones trigonométricas son periódicas.


Función periódica

Si una función f que tiene la propiedad: f(x) = f(x + k) para un k dado característico de cada función, entonces decimos que la función es periódica.


Periodo de una función periódica

Sea f una función periódica. El valor mínimo de k que hace que se cumpla: f(x) = f(x + k) para toda x en el dominio de la función f es el periodo de la función.

Observa que por la simetría se cumple:

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Recuerda que el ángulo positivo gira en contra de las manecillas del reloj, mientras que el ángulo negativo a favor de las manecillas. Si cambiamos el valor de \theta por (-\theta), obtenemos el mismo valor de la función. Es decir, las proyecciones horizontales de radios con inclinaciones \theta o (-\theta) son iguales.

En los triángulos rectángulos equivalentes los ángulos \theta y \beta son complementarios.

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Lo único que hemos hecho es cambiar la posición del triángulo para obtener el de la izquierda a partir del triángulo de la derecha. Es claro que \sin\theta = \cos\beta, porque:

    \begin{equation*} \sin\theta = \frac{y}{r}\qquad\mbox{ y }\qquad\cos\beta = \frac{y}{r} \end{equation*}

También se cumple: \sec\theta = \csc\beta, porque:

    \begin{equation*}    \sec\theta = \frac{r}{y}\qquad\mbox{ y }\qquad\csc\beta = \frac{r}{y} \end{equation*}

Y finalmente, \tan\theta = \cot\beta, porque:

    \begin{equation*} \tan\theta = \frac{r}{y}\qquad\mbox{ y }\qquad\cot\beta = \frac{r}{y} \end{equation*}

Ahora observa los nombres de las funciones relacionadas como se ha indicado:

Función Cofunción
Seno (\sin\theta) Coseno (\cos\beta)
Secante (\sec\theta) Cosecante (\csc\beta)
Tangente (\tan\theta) Cotangente (\cot\beta)

Y al recordar que los ángulos \theta y \beta son complementarios, puedes imaginar de dónde viene el prefijo \dice{co} de las cofunciones.


Cofunción

La cofunción C(\beta) de una función trigonométrica f(\theta) es la función trigonométrica que cumple:

    \begin{equation*}    f(\theta) = C(90\textdegree - \theta) \end{equation*}

para: 0\textdegree \leq \theta \leq 90\textdegree.


Este resultado se establece como un teorema:


Teorema

Las funciones trigonométricas tienen las siguientes propiedades:

    \begin{eqnarray*} $\sin\theta = \cos(90\textdegree - \theta)$ \qquad\qquad\qquad $\cos\theta = \sin(90\textdegree - \theta)$\\ $\sec\theta = \csc(90\textdegree - \theta)$ \qquad\qquad\qquad $\csc\theta = \sec(90\textdegree - \theta)$\\ $\tan\theta = \cot(90\textdegree - \theta)$ \qquad\qquad\qquad $\cot\theta = \tan(90\textdegree - \theta)$ \end{eqnarray*}

En palabras, el valor de cualquier función trigonométrica evaluada en \theta es igual al valor de su correspondiente cofunción evaluada en el complemento de \theta (esto es, evaluada en 90\textdegree - \theta).


Para graficar las funciones trigonométricas utilizamos los argumentos dados anteriormente y trazamos solamente un periodo de la función, y después solamente debemos repetir la gráfica, por la definición de función periódica.

Enseguida se muestra la gráfica de la función seno:

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Conforme vamos aumentando el valor del ángulo \theta, vamos recorriendo el punto sobre el eje horizontal y graficamos el valor de \sin\theta. Al considerar varios puntos podemos obtener una idea de la gráfica de la función. Al recordar que la función es periódica, podemos extenderla en ambas direcciones repitiendo la forma de la función tantas veces como se requiera.

Por otra parte, la gráfica de la función coseno se obtiene fácilmente al recordar que: \cos\theta = \sin(90\textdegree - \theta), haciendo una traslación hotizontal de la gráfica de la función \sin\theta como se muestra en la siguiente figura:

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Para obtener la gráfica de la función \tan\theta basta observar del triángulo rectángulo que usamos para definir las funciones trigonométricas que:

    \begin{equation*}    \tan\theta = \frac{y}{r} = \frac{\displaystyle\frac{y}{r}}{\displaystyle\frac{x}{r}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \end{equation*}

Es decir, si dividimos el valor de \sin\theta entre el valor de \cos\theta obtenemos el valor de \tan\theta. Cuando los valores de la función \sin\theta van acercándose a cero, los valores de \tan\theta también y \tan\theta = 0 exactamente en los mismos puntos para los cuales \sin\theta = 0.

Cuando los valores de la función \cos\theta se acercan a cero, los valores del cociente \sin\theta/\cos\theta crecen cada vez más, y cuando \cos\theta = 0, la división no está definida, así que en esos puntos la gráfica de la función \tan\theta tampoco estará definida.

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Como puedes ver, la gráfica de la función tangente también es periódica, pues sus valores se van repitiendo cada \pi\,\mathrm{rad}.

La gráfica de \tan\theta está compuesta de muchas ramas idénticas. Dado que no es posible dibujar la gráfica de la función tangente sin levantar el lápiz del papel sobre la cual se le dibuja, decimos que la gráfica es discontínua. Los puntos de discontinuidad de la gráfica de la función tangente están en los puntos en donde \cos\theta = 0; es decir, en todos los múltiplos impares de \pi/2 radianes.

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