Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

6.9 Fuerza hidrostática

Se ejemplifica el cálculo de fuerza hidrostática sobre paredes de distinta forma aplicando la integración.



Ejemplo 6.9.1

Calcule la fuerza hidrostática en una pared triangular de 20\;[\mathrm{m}] de base y 40\;[\mathrm{m}] de altura que está soportando agua en toda su superficie.

Para poder calcular la fuerza hidrostática en una parte de la pared, divídala en una cantidad infinita de franjas horizontales de ancho x y altura dy.


Pared triangular

La ecuación de la línea que pasa por los puntos (0,40) y (20,0) es y = 40 - 2\,x. A partir de esto, x = 20 - \nicefrac{y}{2}. Por lo que el diferencial de área es: dA = (20 - \nicefrac{y}{2}) \cdot dy, y el correspondiente diferencial de fuerza hidrostática es:

    \begin{eqnarray*} 	dF &=& \rho\,g\,(40 - y) \cdot dA  \\ 		&=& \rho\,g\,(40 - y) (20 - \frac{y}{2}) \cdot dy  \\ 		&=& \rho\,g\,\left(800 - 40\,y + \frac{1}{2}\,y^{2}\right)\cdot dy \end{eqnarray*}

En consecuencia, la fuerza hidrostática en la pared es:

    \begin{eqnarray*} 	F &=& \int\limits_{R} dF  \\ 		&=& \rho\,g\,\int\limits_{0}^{40} \left(800 - 40\,y + \frac{1}{2}\,y^{2}\right)\cdot dy	\\ 		&=& \frac{32\,000}{3}\,\rho\,g\;[\mathrm{N}]		\\ 		&=& 1.0464  \times 10^{8} \; [\mathrm{N}] \end{eqnarray*}

Puesto que, \rho_{\text{agua}} = 1\,000\;[\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3], y g = 9.81\;[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2].



Ejemplo 6.9.2

Un cilindro recto de radio R\;[\mathrm{m}] y altura H\;[\mathrm{m}] está acostado en el piso horizontal. Tiene agua a la mitad de su capacidad. Calcule la fuerza hidrostática en su pared circular vertical.

Divida la pared circular vertical en infinitas franjas horizontales, cada una de anchura dz. Considere una parte genérica, a la profundidad z, como se muestra en la figura (z es la distancia desde la superficie del agua al diferencial genérico dF).


Tanque horizontal

El área de la parte genérica es: dA = 2\,y \cdot dz. Del triángulo rectángulo con catetos y y z e hipotenusa R,

    \begin{equation*} 	y = \sqrt{R^2 - z^2} \end{equation*}

Así que el diferencial de área es: dA = 2\,\sqrt{R^2 - z^2} \cdot dz.

Como la ubicación del diferencial de área es un número negativo, z < 0, por lo que P = \rho\,g\,z < 0 (esto no tiene sentido físico.) Para corregir esto, se debe incluir un signo negativo para obtener una presión positiva en la profundidad z. El diferencial de fuerza en este diferencial de área es:

    \begin{eqnarray*} 	dF &=& P \cdot dA  \\ 		&=& -\rho\,g\,z\,dA  \\ 		&=& -2\,\rho\,g\,z \sqrt{R^2 - z^2} \cdot dz \end{eqnarray*}

En consecuencia, la fuerza total sobre cada pared vertical viene dada por:

    \begin{eqnarray*} 	F &=& \int\limits_{Q} dF  \\ 		&=& -2\,\rho\,g\,\int\limits_{-R}^{0} z \cdot\sqrt{R^2 - z^2} \cdot dz  \\ 		&=& \frac{2}{3}\,\rho\,g\,R^3\;[\mathrm{N}]  \\ 		&=& 6\,540\,R^3\;[\mathrm{N}] \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.9.3

Calcule la fuerza hidrostática sobre una pared rectangular inclinada de base w = 5\;[\mathrm{m}] y altura h = 2\;[\mathrm{m}] que forma un ángulo \alpha = 30^{\circ} con la horizontal.

En este caso, no es una pared vertical, sino que forma un ángulo de 30^{\circ} con la horizontal (o 60^{\circ} con la vertical).

Como en los casos anteriores, divida la pared de manera que la presión en cada parte permanezca constante. Se requiere que todos los puntos en el diferencial de fuerza estén a una profundidad constante, z. Por lo que se considera sobre la pared inclinada un rectángulo de base 5\;[\mathrm{m}] y un ancho infinitamente pequeño dL (que es diferente a dz.)



Observe que el diferencial de área es: dA = 5 \cdot dL. Para obtener el valor de dL, dibuje un triángulo rectángulo de catetos dz y dy, e hipotenusa dL, de modo que el ángulo formado por dL y dz sea 60^{\circ}. Con base en esto, se tiene que

Rendered by QuickLaTeX.com

    \begin{equation*} 	\cos(60^{\circ}) = \frac{dz}{dL} = \frac{1}{2} 	\quad\Rightarrow\quad 	dL = 2\cdot dz \end{equation*}

Así, dA = 5 \cdot dL = 10\cdot dz. Consecuentemente,

    \begin{eqnarray*} 	dF &=& P \cdot dA  \\ 		&=& \rho \,g\,(2 - z) \cdot [10\cdot dz]  \\ 		&=& 10\,\rho\, g\,(2 - z) \cdot dz \end{eqnarray*}

Y la fuerza hidrostática total sobre la pared inclinada es:

    \begin{eqnarray*} 	F &=& \int\limits_{R} dF  \\ 		&=& 10\,\rho\, g\,\int\limits_{0}^{2} (2 - z) \cdot dz  \\ 		&=& 20\,\rho\,g \; [\mathrm{N}]  \\ 		&=& 196\,200 \; [\mathrm{N}] \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.9.4

Un tanque hemisférico de radio R está lleno de agua. Calcule la fuerza hidrostática en su pared.

Divida el hemisferio en rodajas horizontales, de modo que la profundidad para todos los puntos de cada rodaja sea constante. Sea z la profundidad de la rodaja infinitamente delgada para que su radio sea y.


Tanque hemisférico

Entonces, y^2 + z^2 = R^2, de donde,

    \begin{equation*} 	y = \sqrt{R^2 - z^2} \end{equation*}

El área dS de la rodaja está dada por:

    \begin{equation*} 	dS = 2\,\pi\,y\cdot dL \end{equation*}

donde dL es el diferencial de la longitud del arco de la circunferencia y^2 + z^2 = R^2. En consecuencia,

    \begin{eqnarray*} 	dL &=& \sqrt{1 + [f'(z)]^2} \cdot dz  \\ 		&=& \sqrt{1 + \left(\frac{-z}{\sqrt{R^2 - z^2}}\right)^2} \cdot dz  \\ 		&=& \sqrt{\frac{R^2 - z^2}{R^2 - z^2} + \frac{z^2}{R^2 - z^2}} \cdot dz  \\ 		&=& \frac{R \cdot dz}{\sqrt{R^2 - z^2}} \end{eqnarray*}

Expresando todo en términos de z, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	dS &=& 2\,\pi\,y\cdot dL  \\ 		&=& 2\,\pi\,\sqrt{R^2 - z^2}\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - z^2}} \cdot dz  \\ 		&=& 2\,\pi\,R \cdot dz \end{eqnarray*}

La fuerza hidrostática sobre este diferencial de área es:

    \begin{eqnarray*} 	dF &=& P \cdot dS  \\ 		&=& -\rho\,g\,z \cdot 2\,\pi\,R \cdot dz  \\ 		&=& -2\,\pi\,R\,\rho\,g\cdot z \cdot dz \end{eqnarray*}

Y la fuerza total sobre la pared del tanque es:

    \begin{eqnarray*} 	F &=& \int\limits_{Q} dF  \\ 		&=& -2\,\pi\,R\,\rho\,g\,\int\limits_{-R}^{0} z \cdot dz  \\ 		&=& \pi\,\rho\,g\,R^{3}\;[\mathrm{N}]  \\ 		&=& 30\,819\,\pi\,R^{3}\;[\mathrm{N}] \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.9.5

Calcule la profundidad a la que debe ubicarse una placa horizontal de modo que la fuerza hidrostática total sobre ella sea igual a la fuerza hidrostática sobre la misma placa en una posición vertical a una profundidad dada.

Considere una placa vertical sumergida en un fluido de densidad \rho. Suponga que el centroide de esta placa se encuentra en el punto (\bar{x},\bar{y}), de manera que:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{a}^{b} y \cdot dA = \bar{y} \cdot A  \end{equation*}

donde A es el área de la cara vertical de la placa, y la parte inferior y superior de la placa se encuentran en y = a, y y = b, respectivamente. Considere un diferencial genérico de área a la profundidad y medida desde la superficie del agua (ahí y = 0). La fuerza hidrostática sobre este elemento diferencial es: dF = \rho \,g\,y \cdot dA. Observe que el sentido positivo del eje y en este caso se considera hacia abajo. La fuerza hidrostática total en esta placa es:

    \begin{equation*} 	F = \int\limits_{R} dF  		= \int\limits_{a}^{b} \rho \, g \, y \cdot dA 		= \rho \, g \, \int\limits_{a}^{b} y \cdot dA 		= \rho \, g \, \bar{y} \, A \end{equation*}

En palabras, esta expresión dice que la fuerza hidrostática total sobre la placa ubicada en una posición vertical es la misma que si la misma placa estuviera ubicada horizontalmente a la profundidad \bar{y} (la ubicación de su centroide). En otras palabras, puesto que F = \rho \, g \, \bar{y} \, A, la fuerza hidrostática total sobre una región vertical plana es igual al área de la región (A) multiplicada por la presión en su centroide (\rho \, g \, \bar{y}).


VER TODO Add a note
Añadir tu comentario
A+
X