Como se puede ver, para la solución de este tipo de problemas, la principal dificultad radica en saber cómo dividir el sólido para que todas las partículas en el diferencial de masa estén a la misma distancia del eje de rotación. Una vez que esto se ha logrado, —el sólido se ha dividido adecuadamente—, el diferencial del momento de inercia se puede deducir fácilmente: calcule el diferencial de masa y multiplíquelo por el cuadrado de la distancia al eje de rotación:
No hace falta decir que el diferencial de masa puede ser el producto de la densidad por el diferencial de la longitud (para la densidad lineal), la densidad por el diferencial del área (por la densidad superficial) o la densidad por el diferencial del volumen (por densidad volumétrica). Del mismo modo, el diferencial de área y el diferencial de volumen pueden tomar diferentes formas, dependiendo de la forma del objeto del cual debe calcularse el momento de inercia.
Ejemplo 6.7.6
Calcule el momento de inercia de una placa circular de masa y radio
alrededor de un eje perpendicular al plano del disco, pasando por su centro.

Es conveniente dividir el disco en anillos concéntricos porque de esta manera todas las partículas de cada diferencial de masa están a la misma distancia del eje de rotación. Sea
la densidad de la placa, de modo que su masa
. Puesto que
, en este caso:
Y su momento de inercia es:
Ejemplo 6.7.7
Un cilindro sólido uniforme tiene un radio , una masa
y una longitud
. Calcule el momento de inercia del cilindro sobre su eje a través de su centro, a lo largo de su longitud.
Divida el cilindro en infinitas carcasas cilíndricas concéntricas, cada una de grosor infinitamente pequeño , como se muestra en la figura.

El volumen de cada carcasa es: . Si el cilindro tiene densidad constante
, entonces,
. Y su momento de inercia es:
Siendo la masa el producto de la densidad por el volumen, el resultado se simplifica como:
Ejemplo 6.7.8
Calcule el momento de inercia de una esfera sólida de radio y masa
que gira alrededor de cualquier eje a través de su centro.

Considere la esfera como el sólido de revolución generado cuando la región delimitada por la circunferencia gira alrededor del eje vertical
. Para calcular el diferencial de momento de inercia, es necesario considerar un elemento diferencial de masa como una carcasa cilíndrica (cilindro hueco) de radio
, y espesor
, como se muestra en la figura. Puesto que
, se sigue que:
.Por lo tanto, el volumen de la carcasa cilíndrica infinitamente delgada es:
El diferencial de masa es, entonces:
Y el diferencial de momento de inercia es:
En consecuencia, el momento de inercia de la esfera sólida con respecto a su eje vertical es:
Para obtener su valor numérico, considere la antiderivada:
Para calcularla, defina: , de manera que:
. Por lo tanto,
Simplifique para obtener:
Ahora exprese como
, y aplique la identidad trigonométrica:
, para obtener:
Para calcular ambas antiderivadas ahora defina , de manera que
, y sustituya en la última expresión para obtener:
lo cual puede calcularse fácilmente:
Reescriba este resultado en términos de la variable :
Y finalmente, transforme esta expresión recordando que al principio se definió: . Represente esta definición en un triángulo rectángulo como se muestra en la figura.
Del triángulo rectángulo se puede deducir fácilmente que:
Consecuentemente,
Volviendo al problema inicial,
Para todo se reduce a cero. Evaluando en
(cambiando el signo), se obtiene:
Pero , y puesto que
este resultado se puede escribir como:
Ejercicios: Vea la página 217 del documento al que se puede acceder aquí.
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