6.7 Momento de inercia

Como se puede ver, para la solución de este tipo de problemas, la principal dificultad radica en saber cómo dividir el sólido para que todas las partículas en el diferencial de masa estén a la misma distancia del eje de rotación. Una vez que esto se ha logrado, —el sólido se ha dividido adecuadamente—, el diferencial del momento de inercia se puede deducir fácilmente: calcule el diferencial de masa y multiplíquelo por el cuadrado de la distancia al eje de rotación:

$\begin{equation*} dI = r^{2}\dot dM$ \end{equation*}$

No hace falta decir que el diferencial de masa puede ser el producto de la densidad por el diferencial de la longitud (para la densidad lineal), la densidad por el diferencial del área (por la densidad superficial) o la densidad por el diferencial del volumen (por densidad volumétrica). Del mismo modo, el diferencial de área y el diferencial de volumen pueden tomar diferentes formas, dependiendo de la forma del objeto del cual debe calcularse el momento de inercia.

Ejemplo 6.7.6

Calcule el momento de inercia de una placa circular de masa $M$ y radio $R$ alrededor de un eje perpendicular al plano del disco, pasando por su centro.

Es conveniente dividir el disco en anillos concéntricos porque de esta manera todas las partículas de cada diferencial de masa están a la misma distancia $~r~$ del eje de rotación. Sea $\rho$ la densidad de la placa, de modo que su masa $M = \rho \cdot A = \rho \, \pi R^2$ . Puesto que $dM = \rho \cdot dA = 2\,\rho\,\pi\,r \cdot dr$ , en este caso:

$\begin{equation*} dI = r^2 \cdot dM = 2\,\rho\,\pi\,r^3\cdot dr \end{equation*}$

Y su momento de inercia es:

$\begin{eqnarray*} I_{z} &=& \int\limits_{B} dI \\ &=& \int r^2 dm \\ &=& \int\limits_{0}^{R} 2\,\rho\,\pi\,r^3 \cdot dr \\ &=& \left.\frac{\rho\,\pi}{2}\,r^4\right\vert_{0}^{R} \\ &=& \frac{\rho\,\pi}{2}\,R^{4} \\ &=& \frac{1}{2}\,\left(\rho\,\pi\,R^2\right) \cdot R^2 \\ &=& \frac{1}{2}\,M\,R^2 \end{eqnarray*}$

Ejemplo 6.7.7

Un cilindro sólido uniforme tiene un radio $R$ , una masa $M$ y una longitud $L$ . Calcule el momento de inercia del cilindro sobre su eje a través de su centro, a lo largo de su longitud.

Divida el cilindro en infinitas carcasas cilíndricas concéntricas, cada una de grosor infinitamente pequeño $dr$ , como se muestra en la figura.

El volumen de cada carcasa es: $dV = 2\,\pi \cdot r \cdot L \cdot dr$ . Si el cilindro tiene densidad constante $\rho$ , entonces, $dm = \rho\cdot dV = 2\,\pi\cdot \rho\cdot L\cdot r\cdot dr$ . Y su momento de inercia es:

$\begin{eqnarray*} I_{z} &=& \int r^2 dm \\ &=& 2\,\pi\,\rho\,L\int\limits_{0}^{R}r^3\cdot dr \\ &=& \frac{1}{2}\,\pi\,\rho\,L\,R^4 \end{eqnarray*}$

Siendo la masa $M$ el producto de la densidad por el volumen, el resultado se simplifica como:

$\begin{eqnarray*} I_{z} &=& \frac{1}{2}\,\pi\,\rho\,L\,R^4 \\ &=& \frac{1}{2}\,\left(\rho\,\pi\,R^2\,L\right)\cdot R^2 \\ &=& \frac{1}{2}\,M\,R^2 \end{eqnarray*}$

Ejemplo 6.7.8

Calcule el momento de inercia de una esfera sólida de radio $R$ y masa $M$ que gira alrededor de cualquier eje a través de su centro.

Considere la esfera como el sólido de revolución generado cuando la región delimitada por la circunferencia $x^2 + y^2 = R^2$ gira alrededor del eje vertical $y$ . Para calcular el diferencial de momento de inercia, es necesario considerar un elemento diferencial de masa como una carcasa cilíndrica (cilindro hueco) de radio $x$ , y espesor $dx$ , como se muestra en la figura. Puesto que $x^2 + y^2 = R^2$ , se sigue que: $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ .Por lo tanto, el volumen de la carcasa cilíndrica infinitamente delgada es:

$\begin{equation*} dV = (2\,\pi x)\cdot 2\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx \end{equation*}$

El diferencial de masa es, entonces:

$\begin{equation*} dm = \rho \cdot dV = 4\,\pi\,\rho \cdot x\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx \end{equation*}$

Y el diferencial de momento de inercia es:

$\begin{equation*} dI = r^2 \cdot dm = 4\,\pi\cdot\rho \cdot x^3\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx \end{equation*}$

En consecuencia, el momento de inercia de la esfera sólida con respecto a su eje vertical es:

$\begin{equation*} I = \int\limits_{0}^{R} dI = 4\,\pi\cdot\rho \,\int\limits_{0}^{R} x^3\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx \end{equation*}$

Para obtener su valor numérico, considere la antiderivada:

$\begin{equation*} \int x^3\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx \end{equation*}$

Para calcularla, defina: $u = R\,\sin(\theta)$ , de manera que: $du = R \,\cos(\theta)\cdot d\theta$ . Por lo tanto,

$\begin{equation*} \int x^3\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx = \int R^3\,\sin^3(\theta) \cdot \sqrt{R^2 - R^2\,\sin^2(\theta)}\cdot R\,\cos(\theta)\cdot d\theta \end{equation*}$

Simplifique para obtener:

$\begin{equation*} R^5\,\int \sin^3(\theta) \cos^2(\theta)\cdot d\theta \end{equation*}$

Ahora exprese $\sin^3(\theta)$ como $\sin(\theta)\cdot\sin^2(\theta)$ , y aplique la identidad trigonométrica: $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$ , para obtener:

$\begin{equation*} R^5\,\int \left[1 - \cos^2(\theta)\right] \cos^2(\theta)\cdot\sin(\theta) \cdot d\theta =R^5\,\int \cos^2(\theta)\cdot\sin(\theta) \cdot d\theta - R^5\, \int \cos^4(\theta)\cdot\sin(\theta) \cdot d\theta \end{equation*}$

Para calcular ambas antiderivadas ahora defina $v = \cos(\theta)$ , de manera que $dv = -\sin(\theta)$ , y sustituya en la última expresión para obtener:

$\begin{equation*} R^5\,\int \cos^2(\theta)\cdot\sin(\theta) \cdot d\theta - R^5\, \int \cos^4(\theta)\cdot\sin(\theta) \cdot d\theta = R^5\,\int v^4\cdot dv - R^5\,\int v^2\cdot dv \end{equation*}$

lo cual puede calcularse fácilmente:

$\begin{equation*} R^5\,\int v^4\cdot dv - R^5\,\int v^2\cdot dv = R^5\left[\frac{v^5}{5} - \frac{v^3}{3}\right] + C_1 \end{equation*}$

Reescriba este resultado en términos de la variable $\theta$ :

$\begin{equation*} R^5\left[\frac{v^5}{5} - \frac{v^3}{3}\right] + C_1 = R^5\left[\frac{\cos^5(\theta)}{5} - \frac{\cos^3(\theta)}{3}\right] + C_2 \end{equation*}$

Y finalmente, transforme esta expresión recordando que al principio se definió: $x = R\,\sin(\theta)$ . Represente esta definición en un triángulo rectángulo como se muestra en la figura.

Del triángulo rectángulo se puede deducir fácilmente que:

$\begin{equation*} \sin\theta = \frac{x}{R} \qquad\text{al igual que}\qquad \cos\theta = \frac{\sqrt{R^2 - x^2}}{R} \end{equation*}$

Consecuentemente,

$\begin{equation*} R^5\left[\frac{\cos^5(\theta)}{5} - \frac{\cos^3(\theta)}{3}\right] + C_2 = R^5\left[\frac{\left(R^2 - x^2\right)^{5/2}}{5\,R^5} - \frac{\left(R^2 - x^2\right)^{3/2}}{3\,R^3}\right] + C_3 \end{equation*}$

Volviendo al problema inicial,

$\begin{eqnarray*} I &=& 4\,\pi\cdot\rho \,\int\limits_{0}^{R} x^3\cdot \sqrt{R^2 - x^2}\cdot dx \\ &=& \left.4\,\pi\cdot\rho \left[\frac{\left(R^2 - x^2\right)^{5/2}}{5} - \frac{R^2\left(R^2 - x^2\right)^{3/2}}{3}\right]\right\vert_{0}^{R} \end{eqnarray*}$

Para $x = R$ todo se reduce a cero. Evaluando en $x = 0$ (cambiando el signo), se obtiene:

$\begin{equation*} I = 4\,\pi\cdot\rho \,\left(\frac{2}{15}\,R^5\right) = \frac{8}{15}\pi\cdot\rho \cdot R^5 \end{equation*}$

Pero $M = \rho\cdot V$ , y puesto que $V = \left(\nicefrac{4}{3}\right)\,\pi R^3$ este resultado se puede escribir como:

$\begin{eqnarray*} I &=& \frac{2}{5}\,\rho \cdot\left(\frac{4}{3}\pi\cdot R^3\right) R^2 \\ &=& \frac{2}{5}\,\left(\rho\cdot V\right)\, R^2 \\ &=& \frac{2}{5}\,M\,R^2 \end{eqnarray*}$