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6.7 Momento de inercia

Se ejemplifica el cálculo del momento de inercia de diversas figuras geométricas por medio de integración.



Ejemplo 6.7.1

Calcule el momento de inercia de una placa rectangular de base b y altura h cuya masa es M respeto de un eje paralelo a su base.

Divida la placa rectangular en tiras horizontales.


Diferencial de masa en una placa rectangular

La densidad de la placa es \rho = M / (bh), y su diferencial de área es dA = b \cdot dy. Por lo que su diferencial de masa dM es:

    \begin{eqnarray*} 	dM &=& \rho \cdot dA	\\ 		&=& \frac{M}{bh} \cdot b \cdot dy	\\ 		&=& \frac{M}{h} \cdot dy \end{eqnarray*}

Así que el diferencial de momento de inercia de esta placa es: dI = \left(\nicefrac{M}{h}\right)\,y^2 \cdot dy. Y el momento de inercia de esta placa es:

    \begin{eqnarray*} 	I &=& \int\limits_{R} dI	\\ 		&=& \frac{M}{h} \int\limits_{0}^{h} y^2 \cdot dy	\\ 		&=& \left.\frac{M}{3h}\,y^3\right\vert_{0}^{h}	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,Mh^2 \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.7.2

Calcule el momento de inercia de un triángulo de base b y la altura h respecto de su base.

Divida la placa triangular en tiras horizontales.


Diferencial de masa en una placa triangular

Por semejanza de triángulos,

    \begin{equation*}    \frac{x}{b} = \frac{h - y}{h}   \qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{(h - y)\,b}{h} \end{equation*}

De la figura es evidente que, dA = x \cdot dy = [(h - y) \cdot b/h ]\cdot dy. Por lo que el momento de inercia de esta placa es:

    \begin{eqnarray*} 	I &=& \int\limits_{R} dI 		= \int\limits_{R} y^2 \cdot dA	\\ 		&=& \int\limits_{0}^{h} y^2\cdot\left(\frac{h - y}{h}\right) \cdot b \cdot dy	\\ 		&=& \left. b \left[\frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4\,h}\right]\right\vert_{0}^{h}	\\ 		&=& \frac{bh^3}{12} \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.7.3

Calcule el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del anillo, pasando por su centro.


Diferencial de masa en un anillo

En este caso, es conveniente dividir el anillo radialmente, cortándolo con rayos que emergen de su centro. Esto es conveniente porque todos los elementos del diferencial de masa están a la misma distancia R del eje de rotación.

Por lo tanto, su momento de inercia es:

    \begin{equation*} 	I_{z} = R^2\int\limits_{B} dM 	= R^2 \cdot M \end{equation*}



Ejemplo 6.7.4

Calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y masa M sobre el eje perpendicular a la barra (el eje y) que pasa por su centro de masa.

Considere una varilla delgada, de longitud L y ubique el origen de un conjunto de ejes perpendiculares en su centro geométrico, como se muestra en la figura:


Diferencial de masa en una barra

Divida la varilla en una cantidad infinita de partes, cada una de ellas infinitamente pequeña, siendo la longitud de cada una, dx. Como la barra tiene una densidad constante, el elemento diferencial de masa es:

    \begin{equation*} 	dM = \left(\frac{M}{L}\right)\cdot dx \end{equation*}

Y dado que cada elemento diferencial de masa se encuentra a x unidades del eje de rotación, dI = x^2\cdot dM. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	I_{y} &=& \int r^2 dm 	\\ 	&=& \int\limits_{-L/2}^{L/2}x^2\cdot \frac{M}{L}\cdot dx	\\ 	&=& \frac{M}{L}\cdot \int\limits_{-L/2}^{L/2}x^2\cdot dx	\\ 	&=& \left.\frac{M}{L}\cdot\left(\frac{x^3}{3}\right)\right\vert_{-L/2}^{L/2}	\\ 	&=& \frac{1}{12}\,ML^2 \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.7.5

Calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y masa M sobre el eje perpendicular a la barra (el eje y) que pasa por uno de sus extremos.

Como en el caso anterior, considere una varilla delgada, de longitud L y ubique el origen de un conjunto de ejes perpendiculares en su extremo izquierdo, como se muestra en la figura:


Diferencial de masa en una barra

Como antes, divida la barra en una cantidad infinita de partes, siendo la longitud de cada una, dx. Nuevamente, el diferencial de masa es:

    \begin{equation*} 	dM = \frac{M}{L}\cdot dx \end{equation*}

Y dado que cada elemento diferencial de masa se encuentra a x unidades del eje de rotación,

    \begin{equation*} 	I_{y} &=& \int r^2 dm 	\\ 	&=& \int\limits_{0}^{L}x^2\cdot \frac{M}{L}\cdot dx	\\ 	&=& \frac{M}{L}\cdot \int\limits_{0}^{L}x^2\cdot dx	\\ 	&=& \left.\frac{M}{L}\cdot\left(\frac{x^3}{3}\right)\right\vert_{0}^{L}	\\ 	&=& \frac{1}{3}\,ML^2 \end{equation*}



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