6.7 Momento de inercia

Considere un cuerpo sólido que gira sobre un punto. Localice un conjunto de ejes perpendiculares con su origen en el centro de rotación del cuerpo.

Para calcular la energía cinética debido a su rotación, es necesario dividir el cuerpo en una cantidad infinita de partes, calcular para cada una de ellas su distancia al eje de rotación y multiplicar esa distancia por su velocidad tangencial:

$\begin{equation*} dK = \frac{1}{2}\, dM \cdot v^{2} \end{equation*}$

Como la suma de la energía cinética de todas las partes del cuerpo da la energía cinética del cuerpo,

$\begin{equation*} K = \,\int\limits_{B} dK = \frac{1}{2}\,\int\limits_{B}\,v^{2} \cdot dM \end{equation*}$

donde $B$ representa los límites de la integral definida para que se considere todo el cuerpo en el proceso de integración. Si el cuerpo tiene una velocidad angular constante $\omega$ , entonces $v = r\cdot \omega$ , donde $~r~$ es la distancia del diferencial de masa $dM$ al eje de referencia. Así,

$\begin{equation*} K = \frac{1}{2}\,\int\limits_{B} v^{2} \cdot dM = \frac{1}{2}\,\int\limits_{B} \left(r \cdot \omega\right)^2 \cdot dM = \frac{1}{2}\,\int\limits_{B} r^{2}\cdot \omega^{2} \cdot dM \end{equation*}$

Recordando que $\omega$ es una constante y $~r~$ es una variable que depende de la elección de $dm$ ,

$\begin{equation*} K = \frac{1}{2}\,\left[\int\limits_{B} r^2 \cdot dM \right] \cdot \omega^2 = \frac{1}{2}\cdot I\cdot \omega^2 \end{equation*}$

La cantidad $I$ es el momento of inercia del cuerpo.

$\begin{equation*} I = \int\limits_{B} r^2\cdot dM \qquad\Rightarrow\qquad dI = r^2\cdot dM \end{equation*}$

El momento de inercia de un objeto es una cantidad que mide el torque necesario para una aceleración angular alrededor de un eje de rotación (de la misma manera que la masa mide la fuerza requerida para una aceleración particular, de acuerdo con la segunda ley de Newton).

En física, la integral $\int r^2 \cdot dM$ se refiere con frecuencia como«el segundo momento» de la masa del objeto. El adjetivo «inercia» en el concepto de momento de inercia se debe a la analogía que este concepto tiene con la masa en movimiento rectilíneo cuando se comparan las fórmulas correspondientes para el movimiento lineal y angular.

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Se ejemplifica el cálculo del momento de inercia de diversas figuras geométricas por medio de integración.