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6.6 Centro de masa

Se ejemplifica el cálculo del centro de masa de objetos y de centroides de figuras utilizando integrales definidas.

Para el estudio analítico del objeto es conveniente considerar todas las partículas del objeto ubicadas en un punto para que un cuerpo distribuido pueda ser tratado como una partícula. Este concepto sirve como un artificio para la simplificación del modelado matemático en problemas en los que debe considerarse la ubicación del objeto. Supongamos que tiene que diseñar una montaña rusa o una rueda de la fortuna (noria), el centro de masa será un concepto importante a tener en cuenta en su diseño. Véase, por ejemplo, el diseño de la rueda de la fortuna que se muestra en la foto de Tomas Anunziata en Pexels.


Centro de masa


El centro de masa de un objeto físico es el punto que equilibra la distribución de masa del objeto.

Para calcular las coordenadas \bar{x} y \bar{y} del centro de masa de una placa, considérelo dividido en una cantidad infinitamente grande de partes, cada una con una masa infinitamente pequeña dM_{i}.

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La tendencia a rotar se mide numéricamente por el producto de la masa dM_{i} de cada elemento diferencial multiplicado por su distancia x al eje y. Para equilibrar la placa es necesario calcular un punto fijo \bar{x} de tal manera que la tendencia a rotar de la placa considerando cada una de sus partículas en su posición real x_i sea igual a la tendencia a rotar (de la placa) considerando todo las partículas en la posición constante \bar{x}. En consecuencia,

    \begin{equation*} 	\sum\limits_{i = 1}^{N} x_{i}\cdot dM_{i} = \sum\limits_{i = 1}^{N} \bar{x}\cdot dM_{i} \end{equation*}

donde N es una cantidad infinitamente grande. Como la suma incluye una cantidad infinita de términos, cada uno de ellos infinitamente pequeño, se puede usar una integral definida para denotarlo:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} x \cdot dM = \int\limits_{R} \bar{x}\cdot dM \end{equation*}

donde R representa los límites para cubrir toda la región del plano xy que ocupa la placa. Como \bar{x} es un valor constante,

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} x \cdot dM =  \bar{x} \cdot \int\limits_{R} dM 	\quad\Rightarrow\quad 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x\,dM}{\displaystyle\int\limits_{R} dM} \end{equation*}

y de manera semejante,

    \begin{equation*} 	\bar{y} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y\,dM}{\displaystyle\int\limits_{R} dM} \end{equation*}

En otras palabras, en el centro de masa de un objeto, la suma de la posición relativa ponderada de la masa distribuida es igual a cero. En física, el producto de la masa multiplicado por la distancia a un eje fijo se llama el momento de la partícula con respecto a ese eje.

Observación: Si en lugar de la masa, se considera la fuerza, entonces el producto \text{fuerza} \times \text {masa} se denomina «torque».


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