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6.6 Centro de masa

Se ejemplifica el cálculo del centro de masa de objetos y de centroides de figuras utilizando integrales definidas.


Centroides

El centroide o centro geométrico de una figura plana es la posición media de todos los puntos en la figura. En otras palabras, el centroide es el centro de masa de un objeto de densidad constante (es el punto sobre el cual se equilibraría la figura, suponiendo que esté hecho de un material de densidad constante).

De las fórmulas para las coordenadas (\bar{x}, \bar{y}) del centro de masa de la placa,

    \begin{eqnarray*} 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x \cdot dM}{\displaystyle\int\limits_{R} dM}  		= \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x \cdot \rho(x) \cdot dA}{\displaystyle\int\limits_{R} \rho(x) \cdot dA}  	\quad&\text{ y }&\quad 	\bar{y} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y \cdot dM}{\displaystyle\int\limits_{R} dM} 		= \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y \cdot \rho(x) \cdot dA}{\displaystyle\int\limits_{R} \rho(x) \cdot dA} 		\label{eq:centroid} \end{eqnarray*}

Considerando una densidad constante, las fórmulas se simplifican como sigue:

    \begin{eqnarray*} 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x\,dA}{\displaystyle\int\limits_{R} dA} \qquad&\text{ y }&\qquad 	\bar{y} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y\,dA}{\displaystyle\int\limits_{R} dA} \end{eqnarray*}

donde (\bar{x}, \bar{y}) son las coordenadas del centroide de la figura dada.

Si es el caso, que la densidad de un objeto (con masa) plano es constante, entonces estas fórmulas se pueden usar así como las deducidas previamente para su centro de masa.

Observe que para calcular las coordenadas del centroide de una figura plana, es necesario calcular tres integrales, el área de la región (\int dA), el «momento» con respecto al eje y (\int x \cdot dA), y el «momento» con respecto al eje x (\int y \cdot dA).


Ejemplo 6.6.4

Calcule el centroide del área parabólica delimitada por el eje x, la gráfica de la función y = \sqrt{x} y la línea vertical x = 4.


Región del plano

El área de la región es:

    \begin{eqnarray*} 	A &=& \int\limits_{0}^{4} f(x) \cdot dx		\\ 		&=& \int\limits_{0}^{4} \sqrt{x} \cdot dx	\\ 		&=& \left.\frac{2}{3}\,x^{3/2}\right\vert_{0}^{4}	\\ 		&=& \frac{16}{3} \end{eqnarray*}

Por otra parte,

    \begin{eqnarray*} 	\int\limits_{R} x\cdot dA  		&=& \int\limits_{0}^{4} x\cdot f(x) \cdot dx	\\ 		&=& \int\limits_{0}^{4} x^{3/2} \cdot dx	\\ 		&=& \left.\frac{2}{5}\,x^{5/2}\right\vert_{0}^{4}	\\ 		&=& \frac{64}{5} \end{eqnarray*}

Y también,

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{2}\,\int\limits_{R} y\cdot dA  		&=& \frac{1}{2}\,\int\limits_{0}^{4} [f(x)]^2 \cdot dx	\\ 		&=& \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{4} x \cdot dx	\\ 		&=& \left.\frac{1}{4}\,x^{2}\right\vert_{0}^{4}	\\ 		&=& 4 \end{eqnarray*}

Por lo tanto, las coordenadas del centroide de esta figura son:

    \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x\,dA}{\displaystyle\int\limits_{R} dA} 		= \frac{\displaystyle\frac{64}{5}}{\displaystyle\frac{16}{3}}  		= \frac{12}{5} 		\qquad\text{ y }\qquad 	\bar{y} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y\,dA}{\displaystyle\int\limits_{R} dA} 		= \frac{\displaystyle8}{\displaystyle\frac{16}{3}} 		= \frac{3}{4} \end{equation*}



Ejemplo 6.6.5

Calcule el centroide de la región delimitada por las gráficas de las siguientes dos funciones: f_{1}(x) = y = \sqrt{p}\sqrt{x}, y f_{2}(x) = y = x^2 / q.


Diferencial de área entre dos gráficas

El diferencial de área de la región viene dado por:

    \begin{equation*} 	dA = \left[f_{1}(x) - f_{2}(x)\right] \cdot dx  	= \left[\sqrt{p}\sqrt{x} - \frac{1}{q}\,x^2\right] \cdot dx \end{equation*}

De donde,

    \begin{equation*} 	A = \int\limits_{R} dA  		= \int\limits_{0}^{x_{i}} \left[\sqrt{p}\sqrt{x} - \frac{1}{q}\,x^2\right] \cdot dx \end{equation*}

donde x_{i} es la abscisa del punto de intersección de ambas gráficas. Para calcular x_i,

    \begin{equation*} 	\sqrt{p} \sqrt{x_{i}} = \frac{1}{q}\,x_{i}^2 \quad\Rightarrow\quad 	x_{i}^{3/2} = q\,p^{1/2} \quad\Rightarrow\quad 	x_{i} = q^{2/3}p^{1/3} \end{equation*}

Este es el valor del límite superior de integración. El área de la región es entonces,

    \begin{eqnarray*} 	A &=& \int\limits_{R} x\cdot dA 	\\ 		&=& \int\limits_{0}^{x_{i}} \left[\sqrt{p}\sqrt{x} - \frac{1}{q}\,x^2\right] \cdot dx	\\ 		&=& \left.\left[\frac{2\sqrt{p}}{3}\,x^{3/2} - \frac{1}{3\,q}\,x^3\right]  \right\vert_{0}^{x_{i}}	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,p\,q \end{eqnarray*}

Y para calcular \bar{x},

    \begin{eqnarray*} 	\int\limits_{R} x\cdot dA  		&=& \int\limits_{0}^{x_{i}} x\cdot \left[\sqrt{p}\sqrt{x} - \frac{1}{q}\,x^2\right] \cdot dx	\\ 		&=& \int\limits_{0}^{x_{i}}\left[\sqrt{p}\,x^{3/2} - \frac{1}{q}\,x^3\right] \cdot dx	\\ 		&=& \frac{3}{20}\,p^{4/3}\,q^{5/3} \end{eqnarray*}

Para \bar{y}, el punto medio del diferencial de área está en (f_{1}(x) + f_{2}(x))/2. Entonces,

    \begin{equation*} 	\frac{1}{2}\,y\cdot dA = \frac{1}{2}\,\left[f_{1}(x) + f_{2}(x) \right] \cdot  \left[f_{1}(x) - f_{2}(x) \right] \cdot dx 		= \frac{1}{2}\,\left[ f_{1}^2(x) - f_{2}^2(x) \right]\cdot dx \end{equation*}

Luego,

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{2}\,\int\limits_{R} y\cdot dA  		&=& \frac{1}{2}\,\int\limits_{0}^{x_{i}} \left[f_{1}^2(x) - f_{2}^2(x) \right] \cdot dx		\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\int\limits_{0}^{x_{i}} \left[p\,x - \frac{1}{q^2}\,x^4\right] \cdot dx		\\ 		&=& \left.\frac{1}{2}\,\left[ \frac{p}{2}\,x^2 - \frac{1}{5\,q^2}\,x^5  \right] \right\vert_{0}^{x_{i}}		\\ 		&=& \frac{3}{20}\,p^{5/3}\,q^{4/3} \end{eqnarray*}

Por lo tanto, las coordenadas del centroide de esta figura son:

    \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x\,dA}{\displaystyle\int\limits_{R} dA} 		= \frac{\displaystyle\frac{3}{20}\,p^{4/3}\,q^{5/3}}{\displaystyle\frac{1}{3}\,p\,q}  		= \frac{9}{20}\,p^{1/3}\,q^{2/3} \end{equation*}

y

    \begin{equation*} 	\bar{y} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y\,dA}{\displaystyle\int\limits_{R} dA} 		= \frac{\displaystyle\frac{3}{20}\,p^{5/3}\,q^{4/3}}{\displaystyle\frac{1}{3}\,p\,q} 		= \frac{9}{20}\,p^{2/3}\,q^{1/3} \end{equation*}


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