Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

6.6 Centro de masa

Se ejemplifica el cálculo del centro de masa de objetos y de centroides de figuras utilizando integrales definidas.



Ejemplo 6.6.1

Establezca las integrales definidas necesarias para calcular el centro de masa de una barra cuya forma coincide con la gráfica de la función y = 1 + x^2 / 50 y su densida varía de acuerdo con la fórmula: \rho(x) = 2\,x\;[\mathrm{gr}/\mathrm{cm}], donde x se mide en centímetros, desde x = 0 hasta x = 10.

La masa M de la barra ya se calculó (vea el ejemplo 6.5.2):

    \begin{equation*} 	M = \frac{1}{25}\,\int\limits_{0}^{10}  \sqrt{625 + x^2} \cdot (2\,x) \cdot dx 		= \frac{10}{3}\left(29^{3/2} - 125\right) \; [\mathrm{gr}] \end{equation*}

Las otras dos integrales definidas requeridas para calcular \bar{x} y \bar{y} son:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} x\,dM = \frac{2}{25}\,\int\limits_{0}^{10} x^2 \, \sqrt{625 + x^2}\cdot dx \end{equation*}

y

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} y\,dM = \frac{2}{25}\,\int\limits_{0}^{10} x\cdot\left(1 + \frac{x^2}{50}\right) \, \sqrt{625 + x^2}\cdot dx \end{equation*}



Ejemplo 6.6.2

Calcula el centro de masa de una barra de 20\;[\mathrm{cm}] de longitud si su densidad varía según la fórmula: \rho(x) = 1 + \sqrt{x}\;[\mathrm{gr}/\mathrm{cm}], donde x es la distancia a su extremo izquierdo medida en centímetros.

La masa de esta barra ya se calculó en el ejemplo 6.5.1. Para calcular la coordenada \bar{x} de su centro de masa, calcule primero

    \begin{eqnarray*} 	\int\limits_{R} x\,dM  		&=& \int\limits_{0}^{20} x\cdot \left(1 + \sqrt{x}\right) \cdot dx  \\ 		&=& \int\limits_{0}^{20} \left(x + x^{3/2}\right) \cdot dx  \\ 		&=& \left.\frac{x^2}{2} + \frac{2\,x^{5/2}}{5} \right\vert_{0}^{20}  \\ 		&=& 200 + 320\,\sqrt{5} \;[\mathrm{gr}] \end{eqnarray*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x\,dM }{\displaystyle\int\limits_{R} dM } 		= \frac{200 + 320\,\sqrt{5}}{\displaystyle 20 + \frac{80}{3}\,\sqrt{5}} 		\approx 11.49\;[\mathrm{cm}] \end{equation*}



Ejemplo 6.6.3

Calcule el centro de masa de la placa semicircular superior de radio ~r~, cuya densidad varía de acuerdo con \rho(y) = k, constante.


Diferencial de masa en una placa circular

Los puntos en la placa tienen densidad constante. Por lo tanto, el diferencial de área corresponde a un rectángulo vertical de base infinitamente pequeña, dx.

De la ecuación de la circunferencia de radio ~r~ con centro en el origen, y = \sqrt{r^2 - y^2}. Así que el diferencial de masa es:

    \begin{equation*} 	dM = \rho \cdot dA  		= k\,f(x) \cdot dx  		= k \, \sqrt{r^2 - x^2} \cdot dx \end{equation*}

Por lo tanto, su masa está dada por:

    \begin{equation*} 	M = \int\limits_{R} dM  		= \int\limits_{-r}^{r} k\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot dx \end{equation*}

La antiderivada correspondiente ya se conoce (vea el ejemplo 6.2.4). Consecuentemente,

    \begin{eqnarray*} 	M &=& k\,\int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\cdot dx  \\ 		&=& \left.\frac{k}{2}\,r^2 \left[\arcsin(x) + \frac{x}{r}\cdot  \frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{r} \right]\right\vert_{-r}^{r}  \\ 		&=& \frac{1}{2}\,k\,\pi\,r^2 \end{eqnarray*}

Para calcular las coordenadas del centro de masa de esta placa, también es necesario calcular:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} x\,dM 	\qquad \text{ y } \qquad 	\int\limits_{R} y\,dM \end{equation*}

Para calcular la primera, dado que esta integral definida corresponde a la misma placa,

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} x\,dM	 		= \int\limits_{-r}^{r} k\,x\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot dx \end{equation*}

Aplique el cambio de variable v = r^2 - x^2, de manera que dv = -2\,x\cdot dx. Al completar el diferencial, la antiderivada es inmediata:

    \begin{eqnarray*} 	&=& -\frac{k}{2}\,\int \sqrt{r^2 - x^2} \left(-2\,x\cdot dx\right)  \\ 	&=& -\frac{k}{2}\,\int v^{1/2} \cdot dv  \\ 	&=& -\frac{k}{2}\,\frac{v^{3/2}}{(3/2)} + \hat{C}  \\ 	&=& -\frac{k}{3}\,\left(r^2 - x^2\right)^{3/2} + C \end{eqnarray*}

Y la evaluación en los límites de la integral da:

    \begin{equation*} 	\int\limits_{R} x\,dM	 		= \int\limits_{-r}^{r} k\,x\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot dx 		= 0 \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\bar{x} = \frac{\displaystyle\int\limits_{R} x\,dM}{\displaystyle\int\limits_{R} dM} 		= \frac{0}{\displaystyle\frac{1}{2}\,k\,\pi\,r^2} = 0 \end{equation*}

Debido a la simetría del semicírculo, la placa se va a equilibrar horizontalmente alrededor de su eje (vertical). Es por eso que \bar{x} = 0.

Para calcular \bar{y}, primero observe que, por la definición del centro de masa, para cada diferencial de masa dM (la tira vertical) se requiere multiplicar el punto en el que se equilibra en la dirección vertical, y se considerará como y. Debido a que el diferencial de masa es un rectángulo de densidad constante (la densidad no cambia en la dirección vertical), su centro geométrico sirve como tal distancia. Y dado que y = \sqrt{r^2 - x^2},

    \begin{eqnarray*} 	\int\limits_{R} \frac{1}{2}\,y\,dM	 		&=& \frac{1}{2}\,\int\limits_{-r}^{r} k\,\left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \cdot dx  \\ 		&=&  \frac{k}{2}\,\int\limits_{-r}^{r} \left(r^2 - x^2\right) \cdot dx  \\ 		&=&  \left.\frac{k}{2}\,\left[r^2x - \frac{x^3}{3}\right]\right\vert_{-r}^{r}  \\ 		&=& \frac{2}{3}\,k\,r^3 \end{eqnarray*}

Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\bar{y} &=& \frac{\displaystyle\int\limits_{R} y\,dM}{\displaystyle\int\limits_{R} dM}  \\ 		&=& \frac{\displaystyle\frac{2}{3}\,k\,r^3}{\displaystyle\frac{1}{2}\,k\,\pi\,r^2}   \\ 		&=& \frac{4\,r}{3\,\pi} \end{eqnarray*}

Y las coordenadas del centro de masa de esta placa son \bar{x} = 0, y \bar{y} = \nicefrac{4r}{(3\pi)}.



VER TODO Add a note
Añadir tu comentario
A+
X