6.5 Masa

Considere un objeto de densidad variable $\rho = \rho(x)$ a lo largo del eje $x$ . Para calcular su masa, divida todo el objeto en una cantidad infinitamente grande de partes, de tal manera que en cada una el cambio de densidad sea infinitamente pequeño y, por lo tanto, se pueda calcular como cuando la densidad es constante. Es claro que la división del todo debe hacerse de tal manera que sea posible calcular la masa de la parte genérica. La suma de la masa de todas las partes da como resultado la masa de todo el cuerpo.

En general, las unidades de la densidad informará de la naturaleza del objeto (y viceversa). Si la densidad se da en unidades de masa sobre longitud (como $\mathrm{gr}/\mathrm{cm}$ ), entonces el objeto es lineal (como una barra), si la densidad se da en unidades de masa sobre área (como $\mathrm{gr}/\mathrm{cm}^2$ ) entonces el objeto es una superficie (como una lámina) y si las unidades se dan en términos de masa sobre volumen (como $\mathrm{gr}/\mathrm{cm}^3$ ) entonces el objeto se considera sólido.

Observación: En física, la densidad lineal se denota por $\lambda$ , la densidad superficial por $\sigma$ y la densidad volumétrica por $\rho$ . En este libro, el símbolo $\rho$ se usa para los tres casos.

Cálculo aproximado de la masa

Si la densidad del cuerpo es constante, entonces el cálculo de la masa es sencillo: multiplique la densidad por el volumen, o la densidad por el área, o la densidad por la longitud para obtener la masa del objeto.

Si tiene densidad variable $\rho = \rho(x)$ , considerando la dirección en la que está cambiando la densidad, aplique el siguiente procedimiento para calcular un valor aproximado de la masa del objeto.

1. Sea «el todo» el cuerpo de densidad variable al cual se le quiere calcular la masa. Coloque al sólido en un sistema de coordenadas de manera que la densidad cambie en la dirección del eje $x$ , de tal manera que el sólido empiece en $x = a$ y termine en $x = b$ .

2. Sea $M$ el valor exacto de la masa del cuerpo.

3. Divida el intervalo $[a,b]$ en un número (natural) finito $n$ de subintervalos todos de igual longitud, $\Delta x$ , de manera que:
$\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}$
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en $x_{i}$ , y $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , tal que:
$\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

4. Observe que a cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ , le corresponde una parte del cuerpo cuya masa se desea calcular.

5. Sea $\Delta M_{i}$ el valor exacto de la masa de la parte del cuerpo correspondiente al $i-$ ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado de la masa $\Delta M_{i}$ de cada una de estas partes considerando que cada una es de densidad constante y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación de la masa del sólido, con base en que:
$\begin{equation*} M = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta M_{i} \end{equation*}$

7. Evalúe la función de densidad $\rho = \rho(x)$ en cada punto $x_i$ para $0 \leq i \leq n - 1$ para obtener los valores de la densidad $\rho(x_{i})$ en cada extremo de las partes en las que se dividió el cuerpo. Para cada parte, calcule un valor aproximado de su masa $\Delta M_{i}$ suponiendo que su densidad es el valor de la función de densidad evaluada en el extremo izquierdo $\rho(x_{i})$ :
$\begin{equation*} \Delta M_{i} \approx \rho(x_{i}) \cdot \Delta V_{i} \end{equation*}$
donde $\Delta V_{i}$ es el volumen correspondiente a la parte del cuerpo considerada.

8. En caso de que haya necesidad, aplique el método de Euler para simplificar la expresión correspondiente al valor aproximado de la masa de la parte genérica considerada para escribirla como función de $x_{i}$ solamente, multiplicada por la longitud del $i-$ ésimo subintervalo, $\Delta x$ :
$\begin{eqnarray*} \Delta M_{i} &\approx& \rho(x_{i}) \cdot \Delta V_{i} = r(x_{i}) \cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

9. Sume el valor aproximado de la masa $\Delta M_{i}$ de cada elemento correspondiente a todos los subintervalos.
$\begin{equation*} M = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta M_{i} \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} \rho(x_{i}) \cdot \Delta V_{i} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} r(x_{i}) \cdot \Delta x \end{equation*}$

10. Evalúe la suma numéricamente.

Observe que a medida que se incrementa $n$ (el número de partes en las que se ha dividido el intervalo $[a, b]$ ) cada parte del sólido es más delgada, por lo que el valor $\rho(x_{i})$ considerado para la densidad de cada parte se acerca cada vez más al valor promedio de la parte correspondiente y la aproximación obtenida de $M$ se acerca a su valor exacto.

Así que para calcular el valor exacto de la longitud del arco, en lugar de dividir el intervalo en un número finito de partes, es necesario dividirlo en una cantidad infinitamente grande de partes, de modo que cada subintervalo sea infinitamente pequeño.

Cálculo exacto de la masa

Para calcular el valor exacto de la masa $M$ de un sólido cuya densidad variable depende de $x$ , aplique el siguiente procedimiento.

1. Considere como «el todo» al cuerpo de densidad variable al cual se requiere calcular la masa. Coloque al sólido en un sistema de coordenadas de forma que la densidad cambie en la dirección del eje $x$ , y de manera que el sólido empiece en $x = a$ y termine en $x = b$ .

2. Sea $M$ el valor exacto de la masa de ese sólido.

3. Divida el intervalo $[a, b]$ en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña, $dx$ .

4. Considere un subintervalo genérico $[x, x + dx]$ para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada del sólido cuya masa se desea cuantificar.

5. Sea $dM$ el valor exacto de la masa de esa parte genérica.

6. La suma de todos los $dM$ ‘s es igual a $M$ . Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de masa, esta suma se representa mediante una integral definida:
$\begin{equation*} M = \int\limits_{R} dM \end{equation*}$
donde $R$ representa los límites para que se cubra el intervalo $[a,b]$ .

7. Dado que el diferencial de masa considerado está en el intervalo $[x, x + dx]$ , es infinitamente delgado. Por ello, su densidad permanece constante, y el valor exacto de su masa es igual al valor de la densidad evaluada en el extremo izquierdo de la parte genérica, por su volumen:
$\begin{equation*} dM = \rho(x) \cdot dV \end{equation*}$

8. En caso de ser necesario, aplique el postulado de Leibniz, para expresar el valor exacto de $dM$ de la forma $dM = r(x) \cdot dx$ :
$\begin{equation*} dM = \rho(x) \cdot dV = r(x) \cdot dx \end{equation*}$

9. Ahora sume la masa $dM$ del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa mediante una integral definida:
$\begin{equation*} M = \int\limits_{R} dM = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho(x) \cdot dV = \int\limits_{a}^{b} r(x) \cdot dx \end{equation*}$
En la ecuación anterior, $R$ representa el intervalo $x \in [a, b]$ , que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de masa va desde $x = a$ hasta $x = b$ .

10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
$\begin{equation*} M = \int\limits_{R} dM = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho(x) \cdot dV = \int\limits_{a}^{b} r(x) \cdot dx = F[b] - F[a] \end{equation*}$
donde $y = F(x)$ es una antiderivada de $y = r(x)$ .

Observe que si la densidad no depende de $x$ , entonces, este valor constante se puede factorizar escribiéndolo fuera de la integral y la fórmula se reduce al resultado ya conocido: la masa es igual a la densidad por el volumen.

Si la densidad corresponde a un objeto lineal o una superficie, sus unidades correspondientes cambiarán en consecuencia, así como su diferencial de masa, de la siguiente manera:

$\begin{eqnarray*} dM &=& \rho(x) \cdot dL \quad\Rightarrow\quad M = \int\limits_{R} \rho(x) \cdot dL \quad\text{para densidad lineal (masa/longitud)}\\ dM &=& \rho(x) \cdot dA \quad\Rightarrow\quad M = \int\limits_{R} \rho(x) \cdot dA \quad\text{para densidad superficial (masa/\'area)}\\ dM &=& \rho(x) \cdot dV \quad\Rightarrow\quad M = \int\limits_{R} \rho(x) \cdot dV \quad\text{para densidad volum\'etrica (masa/volumen)} \end{eqnarray*}$