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6.5 Masa

Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto de la masa de un cuerpo de densidad variable y se ejemplifica el cálculo de dicha masa.



Ejemplo 6.5.6

Calcule la masa de una esfera sólida de radio R = 10\;[\mathrm{cm}] si su densidad varía de acuerdo con la fórmula: \rho(x) = (0.125\,x + 1)^2\;[\mathrm{gr}/\mathrm{cm}^3], donde x está medido en centímetros.

Dado que la esfera es sólida, dM = \rho(x) \cdot dV. El diferencial de volumen dV = \pi\,[f(x)]^2 \cdot dx, se dedujo en la unidad de aprendizaje titulada «5.3 Volumen». La ecuación de la circunferencia de radio r = 10 es: x^2 + y^2 = 100, y de esto, y = \sqrt{100 - x^2}. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	dM &=& \rho(x) \cdot \pi [f(x)]^2 \cdot dx		\\ 		&=& \pi \, (0.125\,x + 1)^2 \left[\sqrt{100 - x^2}\right]^2 \cdot dx		\\ 		&=& \pi \, (0.125\,x + 1)^2 \left[100 - x^2\right]\cdot dx \end{eqnarray*}

Considerando que 0.125\,x = x /8, y desarrollando los productos indicados entre los polinomios en el diferencial de masa, la integral definida que representa la masa de la esfera es:

    \begin{eqnarray*} 	M &=& \int\limits_{R} dM	\\ 	&=& \pi \,\int\limits_{-10}^{10} \left(100 + 25\,x + \frac{9}{16}\,x^2 - \frac{1}{4}\,x^3 - \frac{1}{64}\,x^4\right) \cdot dx	\\ 	&=& 1\,750\,\pi\;[\mathrm{gr}] \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.5.7

Calcule la masa de una esfera sólida de radio R = 10\;[\mathrm{cm}] si su densidad varía de acuerdo con la fórmula: \rho(r) = (0.125\,r + 1)^2\;[\mathrm{gr}/\mathrm{cm}^3], donde ~r~ es la distancia al centro de la esfera medida en centímetros.

En este caso, la densidad es constante para todos los puntos en la esfera que se encuentran a la misma distancia r\;[\mathrm{cm}] de su centro. Por lo tanto, el diferencial de volumen tiene la forma de una carcasa esférica de radio ~r~ y espesor dr. En consecuencia, su volumen viene dado por: dV = 4\,\pi\,r^2 \cdot dr (vea el ejemplo 6.3.1), y el diferencial de masa de este sólido es:

    \begin{equation*} 	dM = \rho(r) \cdot dV = (0.125\,r + 1)^2 \left[4\,\pi\,r^2\right]\cdot dr \end{equation*}

Por lo que la masa del sólido está dada por:

    \begin{eqnarray*} 	M &=& \int\limits_{R} dM	\\ 		&=& 4\,\pi\,\int\limits_{0}^{10} \left(\frac{r}{8} + 1\right)^2 \cdot r^2 \cdot dr 		\\ 		&=& 4\,\pi\,\int\limits_{0}^{10} \left( \frac{1}{64}\,r^4 + \frac{1}{4} \,r^3 + r^2 \right) \cdot dr		\\ 		&=& \left.4\,\pi\,\left[ \frac{1}{320}\,r^5  + \frac{1}{16}\,r^4 + \frac{1}{3}\,r^3 \right]\right\vert_{0}^{10}		\\ 		&=& \frac{15\,250}{3}\,\pi 		\approx 15\,969.7627\;[\mathrm{gr}] \end{eqnarray*}


Ejercicios: Vea las páginas 203 y 204 del documento al que se puede acceder aquí.

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