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6.5 Masa

Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto de la masa de un cuerpo de densidad variable y se ejemplifica el cálculo de dicha masa.



Ejemplo 6.5.1

Calcule la masa de una barra de 20\;\mathrm{cm} de longitud si su densidad varía de acuerdo con la fórmula: \rho(x) = 1 + \sqrt{x}\;[\mathrm{cm}], donde x es la distancia a su extremo izquierdo medida en centímetros.

Sea M la masa de la barra. Dado que la barra es recta, puede ubicarse sobre el eje x, con su extremo izquierdo en el origen. Divida la barra en infinitas partes, cada una de ellas de longitud infinitamente pequeña.

Observe que cuando la barra se divide en infinitas partes, cada una tiene una longitud dx, porque la función que corresponde a cualquier línea horizontal es f(x) = k. Puesto que la barra se encuentra en el eje x, ocurre que f(x) = k = 0. Por lo tanto, f'(x) = 0, y la longitud del elemento diferencial genérico de masa es:

    \begin{equation*} 	dL = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx  		= \sqrt{1 + [0]^2} \cdot dx  		= \sqrt{1} \cdot dx 		= dx \end{equation*}

y el diferencial de masa correspondiente está dado por: dm = \rho(x) \cdot dL = \rho(x) \cdot dx.


Diferencial de masa en una barra

Por lo que la masa total es:

    \begin{equation*} 	M = \int\limits_{R} dM = \int\limits_{0}^{20} \left( 1 + \sqrt{x} \right) \cdot dx 		= \left. x + \frac{2}{3}\,x^{3/2}\right\vert_{0}^{20} 		= 20 + \frac{80}{3}\,\sqrt{5}  		\approx 79.62 \;[\mathrm{gr}] \end{equation*}



Ejemplo 6.5.2

Calcule la masa de una varilla cuya forma coincide con la gráfica de la función y = 1 + x^2 / 50 y su densidad varía según la fórmula: \rho(x) = 2\,x\;[\mathrm{gr}/\mathrm{cm}], donde x se mide en centímetros, desde x = 0 hasta x = 10.


Diferencial de masa en un cable curvo

Divida el intervalo a lo largo del eje x en infinitas partes. Para cada parte de la longitud dx corresponde una parte infinitamente pequeña de la barra. La longitud de una parte genérica viene dada por el diferencial de longitud de arco dL, y su masa dM es igual a la densidad (evaluada en el punto x) por su longitud dL. Es decir,

    \begin{eqnarray*} 	dM &=& \rho(x) \cdot dL	%\\ 		= \rho(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\cdot dx	\\ 		&=& (2\,x) \cdot \sqrt{1 + \frac{x^2}{625}} \cdot dx		%\\ 		= (2\,x) \cdot \frac{\sqrt{625 + x^2}}{25} \cdot dx		\\ 		&=& \frac{1}{25} \cdot \sqrt{625 + x^2}\cdot (2\,x \cdot dx) \end{eqnarray*}

Por lo tanto, la masa de la barra está dada por:

    \begin{equation*} 	M = \int\limits_{R} dM  		= \int\limits_{0}^{10} \rho(x) \cdot dL 		= \frac{1}{25} \,\int\limits_{0}^{10}  \sqrt{625 + x^2} \cdot (2\,x \cdot dx) \end{equation*}

La antiderivada correspondiente puede calcularse fácilmente mediante un cambio de variable. Con este fin, sea v = 625 + x^2, de manera que dv = 2\,x \cdot dx. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	M &=& \frac{1}{25} \,\int\limits_{0}^{10}  \sqrt{625 + x^2} \cdot (2\,x) \cdot dx		\\ 		&=& \left.\frac{2}{75}\,\left(625 + x^2\right)^{3/2}\right\vert_{0}^{10}		\\ 		&=& \frac{10}{3}\left(29^{3/2} - 125\right) 		\approx 103.899\;[\mathrm{gr}] \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.5.3

Calcule la masa de una placa triangular plana con vértices en los puntos (0,0), (0,1) y (1,0) y su densidad varía de acuerdo con: \rho(x) = \sqrt{1 + x}\;[\mathrm{gr}/\mathrm{cm}^2].


Diferencial de masa en una placa triangular

La placa tiene una densidad variable que cambia a medida que el diferencial se mueve hacia la derecha. Entonces, es conveniente dividir la placa en infinitas tiras verticales. Para calcular el diferencial de masa dM = \rho(x) \cdot dA, se debe considerar el diferencial de área dA = f(x) \cdot dx. En este caso, f (x) = y = 1 - x. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	dM = \rho(x) \cdot dA 		= \rho(x) \cdot f(x) \cdot dx 		= \sqrt{1 + x} \cdot (1 - x) \cdot dx \end{equation*}

Y la masa de la placa está dada por:

    \begin{equation*} 	M = \int\limits_{R} dM  		= \int\limits_{0}^{1} \rho(x) \cdot f(x) \cdot dx 		= \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \cdot (1 - x) \cdot dx \end{equation*}

Para calcular esta integral, aplique la ley distributiva para separar en dos integrales:

    \begin{equation*} 	M = \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \cdot (1 - x) \cdot dx 		= \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \cdot dx -  \int\limits_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 + x} \cdot dx  \end{equation*}

La primera antiderivada es inmediata. Para la segunda, defina u = 1 + x y aplique un cambio de variable:

    \begin{eqnarray*} 	\int x \cdot \sqrt{1 + x} \cdot dx  		&=& \int (u - 1) \cdot u^{1/2} \cdot du	\\ 		&=& \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right) \cdot du	\\ 		&=& \frac{2}{5}\,u^{5/2} - \frac{2}{3}\,u^{3/2} + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{2}{5}\,(1 + x)^{5/2} - \frac{2}{3}\,(1 + x)^{3/2} + C \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	M &=& \int\limits_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \cdot dx -  \int\limits_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 + x} \cdot dx 	\\ 		&=& \left.\frac{2}{3}\,(1 + x)^{3/2} - \frac{2}{5}\,(1 + x)^{5/2} + \frac{2}{3}\,(1 + x)^{3/2} \right\vert_{0}^{1}	\\ 		&=& \frac{4}{15}\,\left(1 + \sqrt{2}\right) \;[\mathrm{gr}] \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.5.4

Una placa tiene la forma de un cuarto de círculo de radio r\;[\mathrm{cm}] (para x \geq 0 y y \geq 0). Su densidad varía de acuerdo con la fórmula: \rho(y) = k\,y\;[\math{gr}/\mathrm{cm}^2], donde x, y y están medidos en centímetros. Calcule su masa.


Diferencial de masa en una placa circular

En este caso,

    \begin{equation*} 	dM = \rho(y) \cdot dA \end{equation*}

donde dA es el diferencial de área de la placa. Observe que dA = x \cdot dy, donde (x,y) está sobre la circunferencia de radio ~r~. Es decir, dA = \sqrt{r^2 - y^2} \cdot dy. Por lo tanto, el diferencial de masa en este caso es:

    \begin{equation*} 	dM = \rho(y) \cdot dA 		= k\,y \cdot \sqrt{r^2 - y^2} \cdot dy \end{equation*}

Así que la masa de la placa está dada por:

    \begin{equation*} 	M = \int\limits_{R} dM 		= k\,\int\limits_{0}^{r} y \cdot \sqrt{r^2 - y^2} \cdot dy \end{equation*}

Para calcular la antiderivada, sea u = r^2 - y^2, de manera que du = -2\,y\cdot dy. Usando este cambio de variable,

    \begin{eqnarray*} 	M &=& k\,\int\limits_{0}^{r} y \cdot \sqrt{r^2 - y^2} \cdot dy		\\ 		&=& -\frac{k}{2}\,\int\limits_{0}^{r} \sqrt{r^2 - y^2} \cdot (-2\,y dy)	\\ 		&=& - \left.\frac{k}{3}\,\left[r^2 - y^2\right]^{3/2}\right\vert_{0}^{r}	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,k\,r^{3} \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.5.5

Calcule la masa de una carcasa esférica de radio R = 10\;[\mathrm{cm}] si su densidad varía de acuerdo con la fórmula: \rho(x) = (0.125\,x + 1)^2\;[\mathrm{g}/\mathrm{cm}^2], donde x está medido en centímetros.

Como la carcasa se considera una superficie (no un volumen), el diferencial de masa se calcula mediante la fórmula:

    \begin{equation*} 	dM = \rho(x) \cdot dS \end{equation*}

donde dS es el diferencial de área superficial de la esfera (vea el ejemplo 6.4.1). Es decir:

    \begin{equation*} 	dS = 2\,\pi\,r\cdot dx \end{equation*}

En este caso, r = 10. Por lo que el diferencial de masa es:

    \begin{equation*} 	dM = \rho(x) \cdot dS 		= (0.125\,x + 1)^2\left[20\,\pi \cdot dx\right] \end{equation*}

Entonces, la masa de la cubierta esférica viene dada por:

    \begin{equation*} 	M &=& \int\limits_{R} dM	\\ 		&=& 20\,\pi\,\int\limits_{-10}^{10} (0.125\,x + 1)^2 \cdot dx	\\ 		&=& \frac{1\,825}{3}\,\pi	\\ 		&\approx& 1\,911.14\;[\mathrm{gr}] \end{equation*}



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