6.4 Área superficial de un sólido de revolución

Considere la región delimitada por el eje $x$ , las líneas verticales $x = a$ y $x = b$ , y la gráfica de una función continua y diferenciable $y = f (x)$ en el intervalo $[a, b]$ . Gire esta región alrededor del eje $x$ para obtener un sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

Se requiere calcular el área superficial de este sólido.

Cálculo aproximado del área superficial

Se puede calcular un valor aproximado del área superficial del sólido dado mediante el procedimiento que se explica a continuación.

1. Sea «el todo» el sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $x = b$ .

2. Sea $S$ el valor exacto del área superficial de ese sólido.

3. Divida el intervalo $[a,b]$ en un número (natural) finito $n$ de subintervalos todos de igual longitud, $\Delta x$ , de manera que:
$\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}$
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en $x_{i}$ y $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , tal que:
$\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$
4. Observe que a cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ , le corresponde una parte del sólido del cual se desea calcular el área superficial.

5. Sea $\Delta S_{i}$ el valor exacto del área superficial de la parte del sólido correspondiente al $i-$ ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del área superficial $\Delta S_{i}$ de una parte genérica considerándola como si fuera un cono truncado y luego sumar los valores correspondientes a todas las partes para obtener una aproximación del área superficial del sólido, con base en que:
$\begin{equation*} S = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta S_{i} \end{equation*}$

7. Evalúe la función $y = f(x)$ en cada punto $x_i$ para $0 \leq i \leq n$ para obtener las coordenadas de los puntos $(x_{i}, f(x_{i}))$ sobre la gráfica de la función.
Para cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ calcule el área superficial $\Delta S_{\text{ct}-i}$ del cono truncado con radios $f(x_{i})$ , y $f(x_{i+1})$ , y altura $\Delta x = x_{i + 1} - x_{i}$ , aplicando la fórmula:
$\begin{equation*} \Delta S_{\text{ct}-i} = \pi \cdot \Delta L_{i} \cdot \left[f(x_{i}) + f(x_{i+1})\right] %\approx \pi\,\sqrt{1 + f'(x_{i})} \end{equation*}$
donde $\Delta L_{i}$ es el valor aproximado de la longitud de la gráfica de $y = f(x)$ en el intervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ . Observe que $\Delta S_{\text{ct}-i}$ es un valor aproximado del área superficial $\Delta S_{i}$ de la parte del sólido correspondiente al subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ .
$\begin{equation*} \Delta S_{i} \approx \pi \, \sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \cdot \left[f(x_{i}) + f(x_{i+1})\right] \cdot \Delta x \end{equation*}$

8. Por el método de Euler, se sabe que $f(x_{i+1}) = f(x_{i} + \Delta x) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x$ . Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente a la aproximación de $\Delta S_{i}$ ,
$\begin{eqnarray*} \Delta S_{i} &\approx& \pi \, \sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \,\left[f(x_{i}) + f(x_{i} + \Delta x)\right] \cdot \Delta x \\ &\approx& \pi \,\left[2\,f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x\right] \,\sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \cdot \Delta x \\ &=& 2\,\pi \, f(x_{i}) \,\sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \cdot \Delta x + \pi \, f'(x_{i}) \,\sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \cdot (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}$
Observe que cuando $n$ crece mucho, el término que es un múltiplo de $(\Delta x)^{2}$ , es muy pequeño comparado con el término que es múltiplo de $\Delta x$ , por lo que para $n$ suficientemente grande, se puede escribir:

$\begin{equation*} \Delta S_{i} \approx 2\,\pi \, f(x_{i}) \,\sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \cdot \Delta x \end{equation*}$

9. Sume el valor aproximado del área superficial $\Delta S_{i}$ de cada elemento correspondiente para todos los subintervalos.
$\begin{equation*} S = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta S_{i} \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} 2\,\pi \, f(x_{i}) \,\sqrt{1 + [f'(x_{i})]^2} \cdot \Delta x \end{equation*}$

10. Evalúe la suma numéricamente.

Cálculo exacto del área superficial

Para calcular el valor exacto del área superficial $S$ del sólido que se obtiene cuando se gira alrededor del eje $x$ la región delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ continua y diferenciable en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $x = b$ , aplique el siguiente procedimiento.

1. Considere como «el todo» al sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ la región del plano delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ .

2. Sea $S$ el valor exacto del área superficial de ese sólido.

3. Divida el intervalo $[a, b]$ en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña, $dx$ .

4. Considere un subintervalo genérico $[x, x + dx]$ para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada del sólido cuya área superficial se desea cuantificar.

5. Sea $dS$ el valor exacto del área superficial de esa parte genérica.

6. La suma de todos los $dS$ ‘s es igual a $S$ . Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de área superficial, esta suma se representa mediante una integral definida:
$\begin{equation*} S = \int\limits_{R} dS \end{equation*}$
donde $~R~$ representa los límites para que se cubra el intervalo $[a,b]$ .

7. Por el postulado de Leibniz, la parte de la gráfica de $y = f(x)$ que le corresponde al subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ es un segmento de recta —por ser infinitamente pequeño. Esto significa que el diferencial de área superficial tiene forma de un cono truncado de radios $f(x)$ , y $f(x + dx)$ , altura vertical $dx$ , y altura inclinada $dL$ . Por lo tanto, el valor exacto de $dS$ se puede calcular usando la fórmula que corresponde al área superficial del cono truncado:
$\begin{equation*} dS = \pi \cdot dL \cdot \left[f(x) + f(x + dx)\right] = \pi \, \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot \left[f(x) + f(x + dx)\right] \cdot dx \end{equation*}$

8. Por el postulado de Leibniz, $f(x + dx) = f (x) + f '(x) \cdot dx$ . Por lo tanto,
$\begin{eqnarray*} dS &=& \pi \, \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot \left[f(x) + f(x + dx)\right] \cdot dx \\ &=& \pi \, \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot \left[f(x) + f(x) + f'(x) \cdot dx\right] \cdot dx \\ &=& 2\,\pi \, f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx + \pi\,f'(x) \, \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot (dx)^2 \\ &=& 2\,\pi \, f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx \end{eqnarray*}$

9. Ahora se suma el área superficial $dS$ del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa como una integral definida:
$\begin{equation*} S = \int\limits_{R} dS = \int\limits_{a}^{b} 2\,\pi \, f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx \end{equation*}$
En la ecuación anterior, $~R~$ representa el intervalo $[a, b]$ , que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de área superficial va desde $x = a$ hasta $x = b$ .

10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
$\begin{equation*} S = \int\limits_{R} dS = \int\limits_{a}^{b} 2\,\pi \, f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx = F[b] - F[a] \end{equation*}$
donde $y = F(x)$ es una antiderivada de $y = 2\,\pi \, f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2}$ .

En coordenadas polares, la misma figura sugiere considerar $dS = 2\,\pi\cdot y \cdot dL$ , donde $dL$ está en coordenadas polares (vea la unidad de aprendizaje titulada 6.1 Longitud de arco.) Por lo tanto,