Considere la región delimitada por el eje , las líneas verticales
y
, y la gráfica de una función continua y diferenciable
en el intervalo
. Gire esta región alrededor del eje
para obtener un sólido de revolución, como se muestra en la siguiente figura.


Se requiere calcular el área superficial de este sólido.
Cálculo aproximado del área superficial
Se puede calcular un valor aproximado del área superficial del sólido dado mediante el procedimiento que se explica a continuación.
- 1. Sea «el todo» el sólido que se obtiene al girar alrededor del eje
la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable
en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
- 2. Sea
el valor exacto del área superficial de ese sólido.
- 3. Divida el intervalo
en un número (natural) finito
de subintervalos todos de igual longitud,
, de manera que:
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en
y
, tal que:
- 4. Observe que a cada subintervalo
, le corresponde una parte del sólido del cual se desea calcular el área superficial.
- 5. Sea
el valor exacto del área superficial de la parte del sólido correspondiente al
ésimo subintervalo.
- 6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del área superficial
de una parte genérica considerándola como si fuera un cono truncado y luego sumar los valores correspondientes a todas las partes para obtener una aproximación del área superficial del sólido, con base en que:
- 7. Evalúe la función
en cada punto
para
para obtener las coordenadas de los puntos
sobre la gráfica de la función.
Para cada subintervalo
calcule el área superficial
del cono truncado con radios
, y
, y altura
, aplicando la fórmula:
donde
es el valor aproximado de la longitud de la gráfica de
en el intervalo
. Observe que
es un valor aproximado del área superficial
de la parte del sólido correspondiente al subintervalo
.
- 8. Por el método de Euler, se sabe que
. Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente a la aproximación de
,
Observe que cuando
crece mucho, el término que es un múltiplo de
, es muy pequeño comparado con el término que es múltiplo de
, por lo que para
suficientemente grande, se puede escribir:
- 9. Sume el valor aproximado del área superficial
de cada elemento correspondiente para todos los subintervalos.
- 10. Evalúe la suma numéricamente.
Cálculo exacto del área superficial
Para calcular el valor exacto del área superficial del sólido que se obtiene cuando se gira alrededor del eje
la región delimitada por la gráfica de la función
continua y diferenciable en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
, aplique el siguiente procedimiento.
- 1. Considere como «el todo» al sólido que se obtiene al girar alrededor del eje
la región del plano delimitada por la gráfica de la función
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
- 2. Sea
el valor exacto del área superficial de ese sólido.
- 3. Divida el intervalo
en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña,
.
- 4. Considere un subintervalo genérico
para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada del sólido cuya área superficial se desea cuantificar.
- 5. Sea
el valor exacto del área superficial de esa parte genérica.
- 6. La suma de todos los
‘s es igual a
. Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de área superficial, esta suma se representa mediante una integral definida:
donde
representa los límites para que se cubra el intervalo
.
- 7. Por el postulado de Leibniz, la parte de la gráfica de
que le corresponde al subintervalo
es un segmento de recta —por ser infinitamente pequeño. Esto significa que el diferencial de área superficial tiene forma de un cono truncado de radios
, y
, altura vertical
, y altura inclinada
. Por lo tanto, el valor exacto de
se puede calcular usando la fórmula que corresponde al área superficial del cono truncado:
- 8. Por el postulado de Leibniz,
. Por lo tanto,
- 9. Ahora se suma el área superficial
del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa como una integral definida:
En la ecuación anterior,
representa el intervalo
, que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de área superficial va desde
hasta
.
- 10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
donde
es una antiderivada de
.
En coordenadas polares, la misma figura sugiere considerar , donde
está en coordenadas polares (vea la unidad de aprendizaje titulada 6.1 Longitud de arco.) Por lo tanto,
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