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6.4 Área superficial de un sólido de revolución

Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto del área superficial de un sólido de revolución y se ejemplifica el cálculo de dicha área superficial.



Ejemplo 6.4.1

Justifique la fórmula para calcular el área superficial de la esfera de radio ~r~.

    \begin{equation*} 	S = 4\,\pi\,r^2 \end{equation*}


Considere la esfera generada por la rotación de la circunferencia de radio ~r~ con centro en el origen. Su ecuación es: x^2 + y^2 = r^2. De aquí que,

    \begin{equation*} 	y = \sqrt{r^2 - x^2} \end{equation*}

Divida la esfera en infinitas rodajas verticales. Una rodaja genérica se muestra en la figura.


Diferencial de área superficial (en una esfera)

El diferencial del área superficial para este elemento es:

    \begin{equation*} 	dS = 2\,\pi\,f(x)\cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx \end{equation*}

donde f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}. En consecuencia,

    \begin{eqnarray*} 	dS &=& 2\,\pi\,f(x)\cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{r^2 - x^2}{r^2 - x^2} + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} \cdot dx	\\ 		%&=& 2\,\pi\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{r^2 - x^2}{r^2 - x^2} + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,r\cdot dx \end{eqnarray*}

Entonces, el área superficial de la esfera viene dada por:

    \begin{eqnarray*} 	S &=& \int\limits_{-r}^{r} 2\,\pi\,r\cdot dx  \\ 		&=& 2\,\int\limits_{0}^{r} 2\,\pi\,r\cdot dx  \\ 		&=& 4\,\pi\,r^2  \end{eqnarray*}

Que era lo que debía justificarse.


Observe que dS = 2\,\pi\,r\cdot dx. En palabras, el área de un elemento diferencial de la superficie de la esfera es igual al área de un cilindro de radio ~r~ y altura dx. De esto, se deduce que el área superficial de la esfera es igual al área de la superficie convexa de su cilindro circunscrito. (Esta es la utilidad del lenguaje matemático -es decir, la notación matemática- cuando lo entiendes: con frecuencia da más de lo que generalmente se espera.).


Teorema

Área de la esfera y su cilindro circunscrito


El área superficial de la esfera es igual al área de la superficie convexa de su cilindro circunscrito.

Verificarlo es fácil: el radio del cilindro circunscrito es ~r~ y su altura es 2 \, r. Entonces, el área de su superficie convexa es:

    \begin{equation*} 	S = (\text{circunferencia})(\text{altura}) = (2\,\pi\,r) (2\,r) = 4\,\pi\,r^2 \end{equation*}

Para justificar que S = 4\,\pi\,r^2, Arquímedes (On the sphere and the cylinder, Libro I, proposición 33) usó un polígono regular de un número par de lados. Se dio cuenta de que cuando el polígono gira alrededor de uno de sus ejes (pasando a través de vértices opuestos) se crea un conglomerado de conos truncados y, a partir de esto, al imaginar el sólido así creado tiende a la esfera a medida que aumenta el número de lados del polígono. Luego aplicó el método de exhaución para probarlo.


Ejemplo 6.4.2

Justifique la fórmula para calcular el área superficial del cono recto de altura h y radio ~r~:

    \begin{equation*} 	S = \pi\,r\,\sqrt{r^2 + h^2} \end{equation*}


Considere un cono recto de altura h y radio ~r~ como se muestra en la figura.


Diferencial de área superficial en un cono

La ecuación de la generatriz del cono es y = r\,x / h. Por lo tanto, el diferencial del área superficial viene dado por:

    \begin{eqnarray*} 	dS &=& 2\,\pi \,\frac{r}{h}\,x \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{r}{h}\right)^2} \cdot dx			\\ 		&=& 2\,\pi\,\frac{r}{h}\cdot \sqrt{\frac{r^2 + h^2}{h^2}} \cdot x \cdot dx						\\ 		&=& 2\,\pi\,\frac{r}{h^2}\cdot \sqrt{h^2 + r^2} \cdot x \cdot dx \end{eqnarray*}

Y el área superficial es:

    \begin{eqnarray*} 	S &=& \int\limits_{R} dS	\\ 		&=& \int\limits_{0}^{h} 2\,\pi\,\frac{r}{h^2}\cdot \sqrt{h^2 + r^2} \cdot x \cdot dx		\\ 		&=& 2\,\pi\,\frac{r}{h^2}\cdot \sqrt{h^2 + r^2} \,\int\limits_{0}^{h} x \cdot dx	\\ 		&=& \left.2\,\pi\,\frac{r}{h^2}\cdot \sqrt{h^2 + r^2} \cdot \frac{x^2}{2}\right\vert_{0}^{h}	\\ 		&=& \pi\,r\,\sqrt{h^2 + r^2} \end{eqnarray*}

que es lo que debía justificarse.



Ejemplo 6.4.3

Un astroide es el lugar geométrico de un punto en un círculo de radio b cuando rueda dentro de un círculo fijo de radio a = 4\,b. Su ecuación en coordenadas rectangulares es:

    \begin{equation*} 	x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} \end{equation*}

Calcule el área del sólido generado cuando esta curva gira alrededor del eje x.


Astroide

A partir de la ecuación del astroide:

    \begin{equation*} 	y = \left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \end{equation*}

Y su derivada es:

    \begin{equation*} 	f'(x) = - \sqrt{a^{2/3} - x^{2/3}} \cdot x^{-1/3} \end{equation*}

Por lo que su diferencial de área superficial es:

    \begin{eqnarray*} 	dS &=& 2\,\pi\,f(x) \,\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \cdot \sqrt{1 + \frac{a^{2/3} - x^{2/3}}{x^{2/3}}} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \cdot \sqrt{\frac{x^{2/3} + a^{2/3} - x^{2/3}}{x^{2/3}}}\cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \cdot \frac{a^{1/3}}{x^{1/3}}\cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,a^{1/3}\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \cdot x^{-1/3}\cdot dx \end{eqnarray*}

Y el área superficial requerida está dada por:

    \begin{equation*} 	S = \int\limits_{R} dS  		= 2\,\int\limits_{0}^{a} 2\,\pi\,a^{1/3}\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2}  x^{-1/3}\cdot dx 		= 4\,\pi\,a^{1/3}\int\limits_{0}^{a} \left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} x^{-1/3}\cdot dx \end{equation*}

Para calcular la antiderivada correspondiente, sea u = a^{2/3} - x^{2/3}, de manera que du = -(2/3)\,x^{-1/3} \cdot dx. Usando este cambio de variable,

    \begin{eqnarray*} 	\int \left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} x^{-1/3}\cdot dx  		&=& -\frac{3}{2}\,\int \left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \left(-\frac{2}{3}\,x^{-1/3}\cdot dx \right)	\\ 		&=& -\frac{3}{2}\,\int u^{3/2} du	\\ 		&=& -\frac{3}{2}\,\frac{u^{5/2}}{5/2} + \hat{C}	\\ 		&=& -\frac{3}{5}\,\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{5/2} + C \end{eqnarray*}

Por lo que el área superficial es:

    \begin{eqnarray*} 	S &=& 4\,\pi\,a^{1/3}\int\limits_{0}^{a} \left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} x^{-1/3}\cdot dx	\\ 		&=& \left.-\pi\,a^{1/3}\frac{12}{5}\,\left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{5/2}\right\vert_{0}^{a}	\\ 		&=& \frac{12}{5}\,\pi\,a^2 \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.4.4

Calcule el área superficial del paraboloide generado cuando la parábola y^2 = 4\,p\,x gira alrededor del eje x desde x = 0 hasta x = 3\,p.


Paraboloide de revolución

A partir de la ecuación de la parábola, y = 2\,\sqrt{px}, y f'(x) = \sqrt{p} / \sqrt{x}. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	dS &=& 2\,\pi\,f(x)\,\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi \left(2\,\sqrt{p\,x}\right)\,\sqrt{1 + \frac{p}{x}} \cdot dx		\\ 		&=& 4\,\pi \sqrt{p}\,\sqrt{x}\,\sqrt{\frac{p + x}{x}} \cdot dx		\\ 		&=& 4\,\pi\sqrt{p}\,\sqrt{p + x} \cdot dx \end{eqnarray*}

Por lo que el área superficial es:

    \begin{eqnarray*} 	S &=& \int\limits_{R} dS			 		= \int\limits_{0}^{3p} 4\,\pi\sqrt{p}\,\sqrt{p + x} \cdot dx	\\ 		&=& 4\,\pi\sqrt{p}\,\int\limits_{0}^{3p} \sqrt{p + x} \cdot dx	\\ 		&=& \left.4\,\pi\sqrt{p}\cdot\frac{\left(p + x\right)^{3/2}}{3/2}\right\vert_{0}^{3p}	 		= \frac{56}{3}\,\pi\,p^2 \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.4.5

Establezca la integral definida que representa el valor exacto del área superficial del sólido de revolución generado cuando la elipse:

    \begin{equation*} 	\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}

gira alrededor del eje x.

De la ecuación de la elipse,

    \begin{equation*} 	y = \frac{b}{a}\,\sqrt{a^2 - x^2} 	\qquad\Rightarrow\qquad 	f'(x) = -\frac{b}{a}\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} \end{equation*}

Y por lo tanto, el diferencial del área superficial para este sólido es:

    \begin{eqnarray*} 	dS &=& 2\,\pi\,f(x)\,\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx		\\ 		&=& 2\,\pi\,\left[ \frac{b}{a}\,\sqrt{a^2 - x^2} \right] \cdot \sqrt{1 + \frac{b^2x^2}{a^2\left( a^2 - x^2 \right)}} \cdot dx		\\ 		&=& 2\,\pi\,\frac{b}{a}\,\sqrt{a^2 - x^2} \cdot \sqrt{\frac{a^4 - a^2x^2 + b^2x^2}{a^2\left( a^2 - x^2 \right)}} \cdot dx	\\ 		&=& 2\,\pi\,\frac{b}{a^2} \cdot \sqrt{a^4 - a^2x^2 + b^2x^2} \cdot dx		 \end{eqnarray*}

Y la integral definida que representa el valor exacto del área superficial es:

    \begin{equation*} 	S = \int\limits_{R} dS  		= 4\,\pi\,\frac{b}{a^2}\,\int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^4 - x^2\left(b^2 - a^2\right)} \cdot dx \end{equation*}

¿Qué técnica de integración se debe utilizar para calcular la antiderivada?


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