6.3 Volumen de un sólido de revolución

Considere la región delimitada por la gráfica de una función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a, b]$ , el eje $x$ y las líneas verticales $x = a$ y $x = b$ . Gire esta región alrededor del eje $x$ para obtener un sólido de revolución, como se muestra a continuación.

Se requiere calcular el volumen de este sólido.

Cálculo aproximado del volumen

Se puede calcular un valor aproximado del volumen del sólido dado mediante el procedimiento que se explica a continuación.

1. Sea «el todo» el sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ .

2. Sea $V$ el valor exacto del volumen de ese sólido.

3. Divida el intervalo $[a,b]$ en un número (natural) finito $n$ de subintervalos todos de igual longitud, $\Delta x$ , de manera que:
$\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}$
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en $x_{i}$ y $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , tal que:
$\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

4. Observe que a cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ , le corresponde una parte del sólido del cual se desea calcular el volumen.

5. Sea $\Delta V_{i}$ el valor exacto del volumen de la parte del sólido correspondiente al $i-$ ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del volumen $\Delta V_{i}$ de cada una de estas partes considerando a cada una como si fuera un cono truncado y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación del volumen del sólido, con base en que:
$\begin{equation*} V = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta V_{i} \end{equation*}$

7. Evalúe la función $y = f(x)$ en cada punto $x_i$ para $0 \leq i \leq n$ para obtener las coordenadas de los puntos $(x_{i}, f(x_{i}))$ sobre la gráfica de la función.
Para cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ calcule el volumen $\Delta V_{\text{ct}-i}$ del cono truncado con radios $f(x_{i})$ , y $f(x_{i+1})$ , y altura $\Delta x = x_{i + 1} - x_{i}$ , aplicando la fórmula:
$\begin{equation*} \Delta V_{\text{ct}-i} = \frac{\pi}{3} \cdot \left([f(x_{i})]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i+1}) + [f(x_{i+1})]^2\right) \cdot \Delta x \end{equation*}$
$\Delta V_{\text{ct}-i}$ es un valor aproximado del volumen $\Delta V_{i}$ de la parte del sólido correspondiente al subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ .
$\begin{equation*} \Delta V_{i} \approx \frac{\pi}{3} \cdot \left([f(x_{i})]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i+1}) + [f(x_{i+1})]^2\right) \cdot \Delta x \end{equation*}$

8. Por el método de Euler, se sabe que $f(x_{i+1}) = f(x_{i} + \Delta x) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x$ . Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente a la aproximación de $\Delta V_{i}$ ,
$\begin{eqnarray*} \Delta V_{i} &\approx& \frac{\pi}{3} \cdot \left([f(x_{i})]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i+1}) + [f(x_{i+1})]^2\right) \cdot \Delta x \\ &\approx& \frac{\pi}{3}\left[\left[f(x_{i})\right]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i} + \Delta x) + \left[f(x_{i} + \Delta x)\right]^2\right]\,\Delta x \\ &\approx& \frac{\pi}{3}\left[\left[f(x_{i})\right]^2 + f(x_{i}) \cdot \left(f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x\right) + \left(f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x\right)^2\right]\,\Delta x \\ &=& \frac{\pi}{3}\left[\left[f(x_{i})\right]^2 + \left[f(x_{i})\right]^2 + f(x_{i}) \cdot f'(x_{i}) \cdot \Delta x + \left[f(x_{i})\right]^2 + 2\,f(x_{i})\,f'(x_{i}) \cdot \Delta x + \right. \\ && \left.+ \left[f'(x_{i})\right]^2\cdot\left[\Delta x\right]^2\right]\,\Delta x \\ &=& \pi\,\left[f(x_{i})\right]^2 \Delta x + \pi\,f(x_{i}) \, f'(x_{i}) \cdot\left[\Delta x\right]^{2} + \frac{\pi}{3}\,\left[f'(x_{i})\right]^2\cdot\left[\Delta x\right]^3 \end{eqnarray*}$
Observe que cuando $n$ crece mucho, los múltiplos de $(\Delta x)^{2}$ , y de $(\Delta x)^3$ se hacen muy pequeños comparados con el término que es múltiplo de $\Delta x$ , por lo que para $n$ suficientemente grande, se puede escribir:

$\begin{equation*} \Delta V_{i} \approx \pi \cdot \left[f(x_{i})\right]^2 \cdot \Delta x \end{equation*}$

9. Sume el valor aproximado del volumen $\Delta V_{i}$ de cada elemento correspondiente para todos los subintervalos.
$\begin{equation*} V = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta V_{i} \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} \pi\,[f(x_{i})]^2 \cdot \Delta x \end{equation*}$

10. Evalúe la suma numéricamente.

A medida que $n$ aumenta, $\Delta x$ se hace más pequeño y los múltiplos de $(\Delta x)^2$ y de $(\Delta x)^3$ se vuelven insignificantes. Por lo tanto, el primer término es el que determina el comportamiento de la suma de todas las partes para $n$ suficientemente grande. Cuando requiera escribir un programa de computadora, use la aproximación más eficiente (desde el punto de vista computacional):

$\begin{equation*} V = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta V_{i} \approx \pi\cdot\sum\limits_{i = 0}^{n-1} \left[f(x_{i})\right]^2 \cdot \Delta x \end{equation*}$

haciendo $\Delta x = (b - a) / n$ , $x_{0} = a$ , $x_{1} = a + \Delta x$ , $x_{2} = x_{1} + \Delta x$ , $\cdots$ , $x_{n-1} = b - \Delta x$ , y $x_{n} = b$ .

Observe que, a medida que aumenta el número de partes $n$ en las que se divide el sólido, la aproximación del volumen del sólido mejora (¿por qué?) Extrapolando esta idea, se deduce que para calcular el valor exacto del volumen del sólido de revolución, es necesario dividir el intervalo $[a, b]$ en una cantidad infinitamente grande de partes.

Cálculo exacto de volumen

Para calcular el valor exacto del volumen $V$ del sólido que se obtiene cuando se gira alrededor del eje $x$ la región delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ , aplique el siguiente procedimiento.

1. Considere como «el todo» al sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ la región del plano delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ .

2. Sea $V$ el valor exacto del volumen de ese sólido.

3. Divida el intervalo $[a, b]$ en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña, $dx$ .

4. Considere un subintervalo genérico $[x, x + dx]$ para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada del sólido cuyo volumen se desea cuantificar.

5. Sea $dV$ el valor exacto del volumen de esa parte genérica.

6. La suma de todos los $dV$ ‘s es igual a $V$ . Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de volumen, esta suma se representa mediante una integral definida:
$\begin{equation*} V = \int\limits_{R} dV \end{equation*}$
donde $R$ representa los límites para que se cubra el intervalo $[a,b]$ .

7. Por el postulado de Leibniz, la parte de la gráfica de $y = f(x)$ que le corresponde al subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ es un segmento de recta —por ser infinitamente pequeña. Esto significa que el diferencial de volumen tiene forma de un cono truncado de radios $f(x)$ , y $f(x + dx)$ , y altura $dx$ . Por lo tanto, el valor exacto de $dV$ se puede calcular usando la fórmula que corresponde al volumen del cono truncado:
$\begin{equation*} dV = \frac{\pi}{3}\left(\left[f(x)\right]^2 + f(x)f(x + dx) + \left[f(x + dx)\right]^2\right)\cdot dx \end{equation*}$

8. Por el postulado de Leibniz, $f(x + dx) = f (x) + f '(x) \cdot dx$ . Por lo tanto,
$\begin{eqnarray*} dV \! &=& \! \frac{\pi}{3}\left(\left[f(x)\right]^2 + f(x) \left[f(x) + f'(x)\cdot dx\right] + \left[f(x) + f'(x)\cdot dx\right]^2\right)\cdot dx \\ &=& \frac{\pi}{3}\left(\left[f(x)\right]^2 + [f(x)]^2 + f(x)f'(x)\cdot dx + \left[f(x) + f'(x)\cdot dx\right]^2 \right)\cdot dx\\ &=& \frac{\pi}{3}\left(2\left[f(x)\right]^2 + f(x)f'(x)\cdot dx + [f(x)]^2 + 2\,f(x)f'(x)\cdot dx + [f'(x)]^2[dx]^2 \right)\cdot dx\\ &=& \frac{\pi}{3}\left(3\left[f(x)\right]^2 + 3\,f(x)f'(x)\cdot dx + [f'(x)]^2[dx]^2 \right)\cdot dx \end{eqnarray*}$

9. Ahora se suma el volumen $dV$ del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa como una integral definida:
$\begin{equation*} V = \int\limits_{R} dV = \int\limits_{a}^{b} \pi\,[f(x)]^2 \cdot dx \end{equation*}$
En la ecuación anterior, $R$ representa el intervalo $x \in [a, b]$ , que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de volumen va desde $x = a$ hasta $x = b$ .

10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
$\begin{equation*} V = \int\limits_{R} dV = \int\limits_{a}^{b} \pi\,[f(x)]^2 \cdot dx = F[b] - F[a] \end{equation*}$
donde $y = F(x)$ es una antiderivada de $y = \pi\,[f(x)]^2$ .