Considere la región delimitada por la gráfica de una función continua y diferenciable en el intervalo
, el eje
y las líneas verticales
y
. Gire esta región alrededor del eje
para obtener un sólido de revolución, como se muestra a continuación.


Se requiere calcular el volumen de este sólido.
Cálculo aproximado del volumen
Se puede calcular un valor aproximado del volumen del sólido dado mediante el procedimiento que se explica a continuación.
- 1. Sea «el todo» el sólido que se obtiene al girar alrededor del eje
la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable
en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
- 2. Sea
el valor exacto del volumen de ese sólido.
- 3. Divida el intervalo
en un número (natural) finito
de subintervalos todos de igual longitud,
, de manera que:
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en
y
, tal que:
- 4. Observe que a cada subintervalo
, le corresponde una parte del sólido del cual se desea calcular el volumen.
- 5. Sea
el valor exacto del volumen de la parte del sólido correspondiente al
ésimo subintervalo.
- 6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del volumen
de cada una de estas partes considerando a cada una como si fuera un cono truncado y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación del volumen del sólido, con base en que:
- 7. Evalúe la función
en cada punto
para
para obtener las coordenadas de los puntos
sobre la gráfica de la función.
Para cada subintervalo
calcule el volumen
del cono truncado con radios
, y
, y altura
, aplicando la fórmula:
es un valor aproximado del volumen
de la parte del sólido correspondiente al subintervalo
.
- 8. Por el método de Euler, se sabe que
. Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente a la aproximación de
,
Observe que cuando
crece mucho, los múltiplos de
, y de
se hacen muy pequeños comparados con el término que es múltiplo de
, por lo que para
suficientemente grande, se puede escribir:
- 9. Sume el valor aproximado del volumen
de cada elemento correspondiente para todos los subintervalos.
- 10. Evalúe la suma numéricamente.
A medida que aumenta,
se hace más pequeño y los múltiplos de
y de
se vuelven insignificantes. Por lo tanto, el primer término es el que determina el comportamiento de la suma de todas las partes para
suficientemente grande. Cuando requiera escribir un programa de computadora, use la aproximación más eficiente (desde el punto de vista computacional):
haciendo ,
,
,
,
,
, y
.
Observe que, a medida que aumenta el número de partes en las que se divide el sólido, la aproximación del volumen del sólido mejora (¿por qué?) Extrapolando esta idea, se deduce que para calcular el valor exacto del volumen del sólido de revolución, es necesario dividir el intervalo
en una cantidad infinitamente grande de partes.
Cálculo exacto de volumen
Para calcular el valor exacto del volumen del sólido que se obtiene cuando se gira alrededor del eje
la región delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable
en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
, aplique el siguiente procedimiento.
- 1. Considere como «el todo» al sólido que se obtiene al girar alrededor del eje
la región del plano delimitada por la gráfica de la función
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
- 2. Sea
el valor exacto del volumen de ese sólido.
- 3. Divida el intervalo
en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña,
.
- 4. Considere un subintervalo genérico
para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada del sólido cuyo volumen se desea cuantificar.
- 5. Sea
el valor exacto del volumen de esa parte genérica.
- 6. La suma de todos los
‘s es igual a
. Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de volumen, esta suma se representa mediante una integral definida:
donde
representa los límites para que se cubra el intervalo
.
- 7. Por el postulado de Leibniz, la parte de la gráfica de
que le corresponde al subintervalo
es un segmento de recta —por ser infinitamente pequeña. Esto significa que el diferencial de volumen tiene forma de un cono truncado de radios
, y
, y altura
. Por lo tanto, el valor exacto de
se puede calcular usando la fórmula que corresponde al volumen del cono truncado:
- 8. Por el postulado de Leibniz,
. Por lo tanto,
- 9. Ahora se suma el volumen
del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa como una integral definida:
En la ecuación anterior,
representa el intervalo
, que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de volumen va desde
hasta
.
- 10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
donde
es una antiderivada de
.
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