6.3 Volumen de un sólido de revolución

Si existe la necesidad de dividir el sólido en cortes horizontales, a lo largo del eje $y$ , la integral definida terminará en términos de $y$ . Sin embargo, es importante reconocer que incluso si la división fue a lo largo del eje $y$ , pero en lugar de cortes horizontales se usaron cortezas cilíndricas verticales, la integral definida puede terminar en términos de la variable $x$ .

Ejemplo 6.3.6

Calcule el volumen del sólido que se genera cuando el círculo $(x - b)^2 + y^2 = a^2$ gira alrededor del eje $y$ . Suponga que $b > a$ .

El centro del círculo está en $(b, 0)$ , y por hipótesis, $b > a$ , como se muestra en la figura. Considere el sólido como formado por infinitas rebanadas horizontales. El diferencial de volumen para un segmento genérico es:

$\begin{equation*} dV = \pi \left[R_{2}^{2} - R_{1}^{2}\right] \cdot dy \end{equation*}$

Pero $R_{1} = b - \sqrt{a^2 - y^2}$ , y también, $R_{2} = b + \sqrt{a^2 - y^2}$ . Por lo tanto,

$\begin{eqnarray*} dV &=& \pi \left[R_{2}^{2} - R_{1}^{2}\right] \cdot dy \\ &=& \pi \left[\left(b + \sqrt{a^2 - y^2}\right)^{2} - \left(b - \sqrt{a^2 - y^2}\right)^{2}\right] \cdot dy \\ &=& 4\,\pi\,b\,\sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy \end{eqnarray*}$

Entonces, el volumen del sólido viene dado por:

$\begin{eqnarray*} V &=& \int\limits_{R} dV \\ &=& 4\,\pi\,b\,\int\limits_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy \\ &=& 8\,\pi\,b\,\int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy \end{eqnarray*}$

La antiderivada correspondiente se calcula en la unidad de aprendizaje 4.12.5. Tomando ese resultado conocido:

$\begin{eqnarray*} V &=& 8\,\pi\,b\,\int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy \\ &=& \left.8\,\pi\,b\,\left[\frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\frac{y}{a}\right) + y\cdot\sqrt{a^2 - y^2}\right]\right\vert_{0}^{a} \\ &=& 2\,\pi^2\,a^2\,b \end{eqnarray*}$

Ejercicios: Vea las páginas 185 y 186 del documento al que se puede acceder aquí.

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Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto del volumen de un sólido de revolución y se ejemplifica el cálculo de dicho volumen.

Ejemplo 6.3.6