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6.3 Volumen de un sólido de revolución

Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto del volumen de un sólido de revolución y se ejemplifica el cálculo de dicho volumen.


Si existe la necesidad de dividir el sólido en cortes horizontales, a lo largo del eje y, la integral definida terminará en términos de y. Sin embargo, es importante reconocer que incluso si la división fue a lo largo del eje y, pero en lugar de cortes horizontales se usaron cortezas cilíndricas verticales, la integral definida puede terminar en términos de la variable x.


Ejemplo 6.3.6

Calcule el volumen del sólido que se genera cuando el círculo (x - b)^2 + y^2 = a^2 gira alrededor del eje y. Suponga que b > a.

El centro del círculo está en (b, 0), y por hipótesis, b > a, como se muestra en la figura. Considere el sólido como formado por infinitas rebanadas horizontales. El diferencial de volumen para un segmento genérico es:

    \begin{equation*} 	dV = \pi \left[R_{2}^{2} - R_{1}^{2}\right] \cdot dy \end{equation*}

Pero R_{1} = b - \sqrt{a^2 - y^2}, y también, R_{2} = b + \sqrt{a^2 - y^2}. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	dV &=& \pi \left[R_{2}^{2} - R_{1}^{2}\right] \cdot dy	\\ 		&=& \pi \left[\left(b + \sqrt{a^2 - y^2}\right)^{2} - \left(b - \sqrt{a^2 - y^2}\right)^{2}\right] \cdot dy		\\ 		&=& 4\,\pi\,b\,\sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy \end{eqnarray*}


Diferencial de área

Entonces, el volumen del sólido viene dado por:

    \begin{eqnarray*} 	V &=& \int\limits_{R} dV 		\\ 		&=& 4\,\pi\,b\,\int\limits_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy	\\ 		&=& 8\,\pi\,b\,\int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy \end{eqnarray*}

La antiderivada correspondiente se calcula en la unidad de aprendizaje 4.12.5. Tomando ese resultado conocido:

    \begin{eqnarray*} 	V &=& 8\,\pi\,b\,\int\limits_{0}^{a} \sqrt{a^2 - y^2} \cdot dy		\\ 		&=& \left.8\,\pi\,b\,\left[\frac{a^2}{2}\,\arcsin\left(\frac{y}{a}\right) + y\cdot\sqrt{a^2 - y^2}\right]\right\vert_{0}^{a}	\\ 		&=& 2\,\pi^2\,a^2\,b \end{eqnarray*}


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