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6.3 Volumen de un sólido de revolución

Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto del volumen de un sólido de revolución y se ejemplifica el cálculo de dicho volumen.


Las fórmulas para calcular el volumen del cono recto o la esfera son ampliamente conocidas. Para evidenciar que la fórmula obtenida para calcular el volumen de un sólido de revolución es correcta, se dan los siguientes dos ejemplos porque seguramente los conoce el lector.


Ejemplo 6.3.1

Justifique la fórmula para calcular el volumen del cono recto de altura h y radio ~r~:

    \begin{equation*} 	V = \frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h \end{equation*}


En la figura se muestra un cono recto de altura h y radio ~r~.


Diferencial de volumen de un cono

La ecuación de la generatriz del cono es y = r\,x / h. Esta función lineal corresponde a f(x) en la fórmula para el diferencial de volumen. Los límites para esta suma van desde el vértice del cono (x = 0) hasta su base (x = h). Entonces, el volumen del cono es:

    \begin{equation*} 	V = \int\limits_{0}^{h} dV  		= \int\limits_{0}^{h} \pi\,\left[f(x)\right]^2 dx  		= \int\limits_{0}^{h} \pi\,\left[\frac{r}{h}\,x\right]^2 dx  \end{equation*}

Puesto que \pi, ~r~, y h son constantes,

    \begin{eqnarray*} 	V &=& \int\limits_{R} \pi\,\left[\frac{r}{h}\,x\right]^2 dx 	\\ 		&=& \frac{\pi\,r^2}{h^2}\int\limits_{0}^{h} x^2 \cdot dx 	\\ 		&=& \left.\frac{\pi\,r^2}{h^2}\,\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{h} 	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\pi\,r^2 h  \end{eqnarray*}

Que era lo que se debía justificar.


De acuerdo a la Encyclopaedia Britannica un cono es «la superficie trazada por una línea recta en movimiento (la generatriz) que siempre pasa a través de un punto fijo (el vértice).» Por lo tanto, el cono no es un sólido, sino una superficie hueca en el espacio. En el siguiente ejemplo, el volumen calculado corresponde al delimitado por la superficie del cono y su base circular.


Ejemplo 6.3.2

Justifique la fórmula para calcular el volumen de la esfera de radio ~r~.

    \begin{equation*} 	V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}


Suponga que la esfera se genera por medio de la rotación del semicírculo superior con centro en el origen con radio ~r~.


Diferencial de volumen en una esfera

En este caso, la ecuación de la circunferencia de radio ~r~ con centro en el origen es x^2 + y^2 = r^2. Resolviendo esta ecuación por y, obtenemos:

    \begin{equation*} 	y = \sqrt{r^2 - x^2} \end{equation*}

Observe que solo se ha considerado y positivo, porque se supone que la esfera se crea mediante la rotación del semicírculo superior.

El diferencial de volumen para este cono truncado infinitamente delgado es, dV = \pi\left[f(x)\right]^2\cdot dx. Consecuentemente,

    \begin{equation*} 	dV = \pi\,\left[\sqrt{r^2 - x^2}\right]^2\cdot dx = \pi \left(r^2 - x^2\right)\cdot dx \end{equation*}

Los límites de integración van de x = -r a x = r, pero debido a la simetría de la esfera, su volumen se puede calcular utilizando los límites desde x = 0 hasta x = r y multiplicando este resultado multiplicado por 2. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	V &=& 2\,\int\limits_{R} dV 	\\ 		&=& 2\,\int\limits_{0}^{r} \pi \left(r^2 - x^2\right)\cdot dx 	\\ 		&=& 2\,\pi\,r^2 \int\limits_{0}^{r} dx - 2\,\pi \int\limits_{0}^{r} x^2 \cdot dx 			\\ \end{eqnarray*}

Separando en dos integrales definidas,

    \begin{eqnarray*} 		&=& 2\,\pi\,r^2 \int\limits_{0}^{r} dx - 2\,\pi \int\limits_{0}^{r} x^2 \cdot dx \\ 		&=& 2\,\pi\,r^3 - \frac{2}{3}\,\pi\,r^3	\\ 		&=& \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{eqnarray*}

Que era lo que se debía justificar.


Recuerde que la fórmula para el diferencial de volumen depende de la forma en que el sólido se ha dividido en partes. En los primeros dos ejemplos, el sólido se ha dividido en rodajas usando cortes verticales. Si en lugar de dividir la esfera como rodajas (discos), se consideran carcazas esféricas, el diferencial de volumen será diferente. Sin embargo, la fórmula correspondiente para el volumen de la esfera es exactamente la misma.


Ejemplo 6.3.3

Justifique la fórmula para calcular el volumen de la esfera sumando el volumen de carcazas esféricas.

Considere la esfera sólida como dividida en infinitas capas esféricas concéntricas. El diferencial de volumen puede visualizarse como una capa esférica de radio x y cuya área superficial es A = 4\,\pi\,x^2 y dx su grosor.


Diferencial de volumen carcazas esféricas concéntricas

El diferencial de volumen en este caso es:

    \begin{equation*} 	dV = A \cdot dx = 4\,\pi\,x^2\cdot dx \end{equation*}

El volumen de la esfera se puede calcular fácilmente mediante la siguiente integral definida:

    \begin{equation*} 	V = \int\limits_{R} dV  		= \int\limits_{0}^{r} 4\,\pi\,x^2\cdot dx 		= \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}



Ejemplo 6.3.4

Justifique (nuevamente) la fórmula para calcular el volumen de la esfera dividiéndola por medio de capas cilíndricas.

Divida la esfera en una cantidad infinita de capas cilíndricas de radio variable x y espesor dx, y eje común (el eje y). Observe que x^2 + y^2 = r^2, y por lo tanto: y = \sqrt{r^2 - x^2}. A partir de esto, el diferencial de volumen de la carcasa cilíndrica es: dV = 2\,\pi\cdot x\cdot \left(2\,\sqrt{r^2 - x^2}\right) \cdot dx.


Diferencial de volumen carcazas cilíndricas concéntricas

Luego, el volumen de la esfera se representa mediante la siguiente integral:

    \begin{eqnarray*} 	V &=& \int\limits_{R} dV	\\ 		&=& \int\limits_{0}^{r} 4\,\pi\cdot x\cdot \sqrt{r^2 - x^2} \cdot dx \end{eqnarray*}

Para calcular la antiderivada, defina u = r^2 - x^2, lo que implica que du = -2\,x\cdot dx. Entonces,

    \begin{eqnarray*}			 	V &=& -2\,\pi\int\limits_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \left[-2\,\cdot x\cdot dx\right]	\\ 		&=& -\frac{4\,\pi}{3}\left.\left( r^2 - x^2\right)^{3/2}\right\vert_{0}^{r}		\\ 		&=& \frac{4\,\pi}{3}\,r^3 \end{eqnarray*}

Observe que la evaluación en x = r hace que la expresión sea igual a cero, y debido a esto, cuando la expresión se evalúa en x = 0, el signo negativo que aparece como un factor en la expresión a evaluar en el límites de la integral, se multiplica por -1 (el factor que aparece en la fórmula del Teorema fundamental del cálculo (es decir, F (b) - F (a).)


Siempre que la mejor opción para el diferencial de volumen consista en dividir el sólido en rodajas, es importante reconocer si el sólido se genera girando sobre el eje x o sobre el eje y. Esta diferencia sugiere escribir la integral definida en términos de una u otra variable. En la deducción del diferencial de volumen al comienzo de esta sección, se suponía que la región en el plano xy giraba alrededor del eje x, y la integral se expresaba en términos de x.


Ejemplo 6.3.5

Calcule el volumen del sólido que se genera cuando la elipse

    \begin{equation*} 	\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}

se gira alrededor del eje x.

De la ecuación de la elipse,

    \begin{equation*} 	y = \frac{b}{a}\,\sqrt{a^2 - x^2} \end{equation*}

En consecuencia, el diferencial de volumen es:

    \begin{equation*} 	dV = \pi\,\left[f(x)\right]^2 \cdot dx \qquad\Rightarrow\qquad 	dV = \pi\,\frac{b^2}{a^2}\,\left[a^2 - x^2\right] \cdot dx \end{equation*}

Los límites de la integral definida son los valores para los cuales y = 0. A saber, x = -a y x = a. Por lo tanto, el volumen viene dado por:

    \begin{equation*} 	V = \int\limits_{R} dV  		= \frac{b^2}{a^2}\,\pi \int\limits_{-a}^{a} \left[a^2 - x^2\right] \cdot dx 		= \left.\frac{b^2}{a^2}\,\pi \left[a^2x - \frac{x^3}{3} \right]\right\vert_{-a}^{a} 		= \frac{4}{3}\,\pi\,ab^2 \end{equation*}



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