6.2 Área de una región del plano

Se requiere calcular el área $A$ de una región plana delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ .

Cálculo aproximado del área

Se puede calcular un valor aproximado del área de la región dada mediante el procedimiento que se explica a continuación.

1. Sea «el todo» la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ .

2. Sea $A$ el valor exacto del área de esa región.

3. Divida el intervalo $[a,b]$ en un número (natural) finito $n$ de subintervalos todos de igual longitud, $\Delta x$ , de manera que:
$\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}$
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en $x_{i}$ y $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , tal que:
$\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

4. Observe que a cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ , le corresponde una parte de la región a la que se le desea calcular el área.

5. Sea $\Delta A_{i}$ el valor exacto del área de la parte de la región correspondiente al $i-$ ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del área $\Delta A_{i}$ de cada una de estas partes considerando a cada una como si fuera un trapecio y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación del área de la región, con base en que:
$\begin{equation*} A = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta A_{i} \end{equation*}$

7. Evalúe la función $y = f(x)$ en cada punto $x_i$ para $0 \leq i \leq n$ para obtener las coordenadas de los puntos $(x_{i}, f(x_{i}))$ sobre la gráfica de la función.
Para cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ calcule el área $\Delta A_{\text{trapecio}-i}$ del trapecio con vértices en los puntos $(x_{i}, 0)$ , $(x_{i+1}, 0)$ , $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$ , y $(x_{i}, f(x_{i}))$ , aplicando la fórmula:
$\begin{equation*} \Delta A_{\text{trapecio}-i} = \left(\frac{f(x_{i}) + f(x_{i+1})}{2}\right) \cdot \Delta x \end{equation*}$
Este es un valor aproximado del área $\Delta A_{i}$ de la parte de la región correspondiente al subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ .
$\begin{equation*} \Delta A_{i} \approx \left(\frac{f(x_{i}) + f(x_{i+1})}{2}\right) \cdot \Delta x \end{equation*}$

8. Por el método de Euler, se sabe que $f(x_{i+1}) = f(x_{i} + \Delta x) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x$ . Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente para la aproximación de $\Delta A_{i}$ ,
$\begin{eqnarray*} \Delta A_{i} &\approx& \left(\frac{f(x_{i}) + f(x_{i+1})}{2}\right) \cdot \Delta x \\ &\approx& \left(\frac{f(x_{i}) + f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x}{2}\right) \cdot \Delta x\\ \Delta A_{i} &\approx & f(x_{i}) \cdot \Delta x + \frac{1}{2}\,f'(x_{i}) \cdot \left(\Delta x\right)^{2} \end{eqnarray*}$
Observe que cuando $n$ crece mucho, el término que es múltiplo de $(\Delta x)^{2}$ es muy pequeño comparado con el término que es múltiplo de $\Delta x$ , por lo que para $n$ suficientemente grande, se puede escribir:
$\begin{equation*} \Delta A_{i} \approx f(x_{i}) \cdot \Delta x \end{equation*}$

9. Sume el valor aproximado del área $\Delta A_{i}$ de cada elemento correspondiente a todos los sub-intervalos.
$\begin{equation*} A = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta A_{i} \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(x_{i}) \cdot \Delta x \end{equation*}$

10. Evalúe la suma numéricamente.

En la primera aproximación obtenida para $\Delta A_{i}$ :

$\begin{equation*} \Delta A_{i} \approx f(x_{i})\cdot \Delta x + \frac{1}{2}\,f'(x_{i})\cdot \left(\Delta x\right)^2 \end{equation*}$

el primer término de la expresión a la derecha del signo $\approx$ representa el área de un rectángulo de base $\Delta x$ y la altura $f(x_{i})$ mientras que el segundo término representa el área de un triángulo de base $\Delta x$ y altura $\Delta y \approx f'(x_{i}) \cdot \Delta x$ . Es decir, el trapecio en esta expresión se considera como la suma de un rectángulo y un triángulo.

Por supuesto, si $f'(x_{i}) > 0$ , la función es creciente en $x_{i}$ y se agrega el área del triángulo. Si $f'(x_{i}) < 0$ la función está decreciendo y el área del triángulo se resta del área del rectángulo. Cuando $f'(x_{i}) = 0$ , por definición, $x_{i}$ es un punto crítico y la gráfica de la función es horizontal allí, de modo que no se forma un triángulo en ese punto en particular.

Observe que a medida que aumentamos $n$ (el número de partes en las que se ha dividido el intervalo $[a, b]$ ) cada segmento de línea está más cerca de la parte correspondiente de la gráfica de la función, de modo que la aproximación para $A$ se acerca a su valor exacto. Algebraicamente, esto puede explicarse señalando que para $n$ suficientemente grande, el valor de $\Delta x$ es muy pequeño, y los múltiplos de $(\Delta x)^2$ se vuelven insignificantes con respecto a los múltiplos de $\Delta x$ , y el valor aproximado del área $\Delta A_{i}$ del elemento genérico se puede simplificar como: $\Delta A_{i} \approx f(x_{i}) \cdot \Delta x$ .

Para calcular el valor exacto del área, se puede aplicar el mismo procedimiento, pero en lugar de dividir el intervalo en un número finito de partes, es necesario dividirlo en una cantidad infinitamente grande de partes, de modo que cada intervalo sea infinitamente pequeño.

Cálculo exacto del área

Para calcular el valor exacto del área $A$ de una región plana delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ , aplique el siguiente procedimiento.

1. Considere a «el todo» como la región del plano delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ , el eje $x$ y las rectas verticales $x = a$ , y $y = b$ .

2. Sea $A$ el valor exacto del área de esa región.

3. Divida el intervalo $[a, b]$ en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña, $dx$ .

4. Considere un subintervalo genérico $[x, x + dx]$ para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada de la región cuya área se desea cuantificar.

5. Sea $dA$ el valor exacto del área de esa parte genérica.

6. La suma de todos los $dA$ ‘s es igual a $A$ . Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de área, esta suma se representa mediante una integral definida:
$\begin{equation*} A = \int\limits_{R} dA \end{equation*}$
donde $R$ representa los límites para que se cubra el intervalo $[a,b]$ .

7. Por el postulado de Leibniz, la parte de la gráfica de $y = f(x)$ que le corresponde al subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ es un segmento de recta —por ser infinitamente pequeña. Por lo tanto, el valor exacto de $dA$ se puede calcular usando la fórmula para el área del trapecio. Puesto que el polígono formado por el elemento genérico (el diferencial de área) tiene sus vértices en los puntos $(x, 0)$ , $(x + dx, 0)$ , $(x + dx, f(x + dx))$ , y $(x, f(x))$ ,
$\begin{equation*} dA = \left(\frac{f(x) + f(x + dx)}{2}\right) \cdot dx \end{equation*}$

8. Recuerde que $f(x + dx) = f (x) + f '(x) \cdot dx$ , por el postulado de Leibniz. Por lo tanto,
$\begin{eqnarray*} dA &=& \left(\frac{f(x) + f(x + dx)}{2}\right) \cdot dx \\ &=& \left(\frac{f(x) + f(x) + f'(x) \cdot dx}{2}\right) \cdot dx \\ &=& f(x) \cdot dx + \frac{1}{2}\,f'(x) \cdot(dx)^2 \\ &=& f(x) \cdot dx \end{eqnarray*}$

9. Ahora se suma el área $dA$ del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa como una integral definida:
$\begin{equation*} A = \int\limits_{R}dA = \int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx \end{equation*}$
En la ecuación anterior, $R$ representa el intervalo $x \in [a, b]$ , que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de área va desde $x = a$ hasta $x = b$ .

10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
$\begin{equation*} A = \int\limits_{R}dA = \int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot dx = F[b] - F[a] \end{equation*}$
donde $y = F(x)$ es una antiderivada de $y = f(x)$ .

Observe que en el cálculo del diferencial de área, antes de simplificar aplicando las propiedades de los infinitesimales se obtuvo:

$\begin{equation*} dA = f(x) \cdot dx + \frac{1}{2}\,f'(x) \cdot(dx)^2 \end{equation*}$

El primer término $f(x)\cdot dx$ representa el área del rectángulo cuya base es $dx$ y su altura es $f(x)$ , mientras que el término $\left(\nicefrac{1}{2}\right)\,f'(x) \cdot (dx)^2$ representa el área del triángulo de base $dx$ y altura $dy = f'(x) \cdot dx$ . Dado que el área del triángulo es infinitamente pequeña en comparación con el área del rectángulo, se puede cancelar de la expresión algebraica sin causar error alguno.

Con base en este resultado, de ahora en adelante, para simplificar la justificación de los resultados, siempre que el diferencial de área corresponda a un trapecio de altura infinitamente pequeña, se considerará el área de un rectángulo de base infinitamente pequeña, ya que sus áreas son iguales.

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