Se requiere calcular el área de una región plana delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable
en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
Cálculo aproximado del área
Se puede calcular un valor aproximado del área de la región dada mediante el procedimiento que se explica a continuación.
- 1. Sea «el todo» la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable
en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
- 2. Sea
el valor exacto del área de esa región.
- 3. Divida el intervalo
en un número (natural) finito
de subintervalos todos de igual longitud,
, de manera que:
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en
y
, tal que:
- 4. Observe que a cada subintervalo
, le corresponde una parte de la región a la que se le desea calcular el área.
- 5. Sea
el valor exacto del área de la parte de la región correspondiente al
ésimo subintervalo.
- 6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del área
de cada una de estas partes considerando a cada una como si fuera un trapecio y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación del área de la región, con base en que:
- 7. Evalúe la función
en cada punto
para
para obtener las coordenadas de los puntos
sobre la gráfica de la función.
Para cada subintervalo
calcule el área
del trapecio con vértices en los puntos
,
,
, y
, aplicando la fórmula:
Este es un valor aproximado del área
de la parte de la región correspondiente al subintervalo
.
- 8. Por el método de Euler, se sabe que
. Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente para la aproximación de
,
Observe que cuando
crece mucho, el término que es múltiplo de
es muy pequeño comparado con el término que es múltiplo de
, por lo que para
suficientemente grande, se puede escribir:
- 9. Sume el valor aproximado del área
de cada elemento correspondiente a todos los sub-intervalos.
- 10. Evalúe la suma numéricamente.
En la primera aproximación obtenida para :
el primer término de la expresión a la derecha del signo representa el área de un rectángulo de base
y la altura
mientras que el segundo término representa el área de un triángulo de base
y altura
. Es decir, el trapecio en esta expresión se considera como la suma de un rectángulo y un triángulo.
Por supuesto, si , la función es creciente en
y se agrega el área del triángulo. Si
la función está decreciendo y el área del triángulo se resta del área del rectángulo. Cuando
, por definición,
es un punto crítico y la gráfica de la función es horizontal allí, de modo que no se forma un triángulo en ese punto en particular.
Observe que a medida que aumentamos (el número de partes en las que se ha dividido el intervalo
) cada segmento de línea está más cerca de la parte correspondiente de la gráfica de la función, de modo que la aproximación para
se acerca a su valor exacto. Algebraicamente, esto puede explicarse señalando que para
suficientemente grande, el valor de
es muy pequeño, y los múltiplos de
se vuelven insignificantes con respecto a los múltiplos de
, y el valor aproximado del área
del elemento genérico se puede simplificar como:
.
Para calcular el valor exacto del área, se puede aplicar el mismo procedimiento, pero en lugar de dividir el intervalo en un número finito de partes, es necesario dividirlo en una cantidad infinitamente grande de partes, de modo que cada intervalo sea infinitamente pequeño.
Cálculo exacto del área
Para calcular el valor exacto del área de una región plana delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable
en el intervalo
, el eje
y las rectas verticales
, y
, aplique el siguiente procedimiento.
- 1. Considere a «el todo» como la región del plano delimitada por la gráfica de la función
, el eje
y las rectas verticales
, y
.
- 2. Sea
el valor exacto del área de esa región.
- 3. Divida el intervalo
en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña,
.
- 4. Considere un subintervalo genérico
para representarlos a todos. A este subintervalo genérico le corresponde una parte infinitamente delgada de la región cuya área se desea cuantificar.
- 5. Sea
el valor exacto del área de esa parte genérica.
- 6. La suma de todos los
‘s es igual a
. Debido a que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de área, esta suma se representa mediante una integral definida:
donde
representa los límites para que se cubra el intervalo
.
- 7. Por el postulado de Leibniz, la parte de la gráfica de
que le corresponde al subintervalo
es un segmento de recta —por ser infinitamente pequeña. Por lo tanto, el valor exacto de
se puede calcular usando la fórmula para el área del trapecio. Puesto que el polígono formado por el elemento genérico (el diferencial de área) tiene sus vértices en los puntos
,
,
, y
,
- 8. Recuerde que
, por el postulado de Leibniz. Por lo tanto,
- 9. Ahora se suma el área
del elemento diferencial de todas las partes. Pero en este caso, como se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, la suma se representa como una integral definida:
En la ecuación anterior,
representa el intervalo
, que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de área va desde
hasta
.
- 10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
donde
es una antiderivada de
.
Observe que en el cálculo del diferencial de área, antes de simplificar aplicando las propiedades de los infinitesimales se obtuvo:
El primer término representa el área del rectángulo cuya base es
y su altura es
, mientras que el término
representa el área del triángulo de base
y altura
. Dado que el área del triángulo es infinitamente pequeña en comparación con el área del rectángulo, se puede cancelar de la expresión algebraica sin causar error alguno.
Con base en este resultado, de ahora en adelante, para simplificar la justificación de los resultados, siempre que el diferencial de área corresponda a un trapecio de altura infinitamente pequeña, se considerará el área de un rectángulo de base infinitamente pequeña, ya que sus áreas son iguales.
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