6.11 Teorema del valor medio para el cálculo integral

Suponga que se requiere calcular el promedio de los valores de una función continua en el intervalo $x \in [a, b]$ . Considere la fórmula para calcular el área de una región plana $R$ delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ , el eje $x$ y las líneas verticales $x = a$ y $x = b$ .

$\begin{equation*} A = \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx \end{equation*}$

Se busca un valor constante $\bar {y}$ que represente todos y cada uno de los valores de la función $y = f(x)$ dentro del intervalo dado $[a, b]$ .

La interpretación geométrica de la integral definida da la respuesta: dado que la gráfica de $y = \bar{y}$ es una línea horizontal, el área delimitada de la región $R$ debe ser igual a la de un rectángulo de base $b - a$ y altura $\bar{y}$ .

Algebraicamente:

$\begin{eqnarray*} \bar{y} \cdot (b - a) = \int\limits_{a}^{b}f(x)\cdot dx &\Rightarrow& \bar{y} = \frac{1}{(b - a)}\cdot\int\limits_{a}^{b}f(x)\cdot dx \end{eqnarray*}$

Teorema

Teorema del valor medio para el cálculo integral

Sea $y = f(x)$ una función continua y diferenciable en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Entonces, en el intervalo abierto $(a,b)$ existe un número $c$ tal que:
$\begin{equation*} f(c)\cdot (b-a) = \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx \end{equation*}$

1 2

VER TODO