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6.11 Teorema del valor medio para el cálculo integral

Se enuncia el teorema del valor medio para el cálculo integral y se ejemplifica su aplicación.

Suponga que se requiere calcular el promedio de los valores de una función continua en el intervalo x \in [a, b]. Considere la fórmula para calcular el área de una región plana R delimitada por la gráfica de la función y = f(x), el eje x y las líneas verticales x = a y x = b.

    \begin{equation*} 	A = \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx \end{equation*}

Se busca un valor constante \bar {y} que represente todos y cada uno de los valores de la función y = f(x) dentro del intervalo dado [a, b].

La interpretación geométrica de la integral definida da la respuesta: dado que la gráfica de y = \bar{y} es una línea horizontal, el área delimitada de la región R debe ser igual a la de un rectángulo de base b - a y altura \bar{y}.

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Algebraicamente:

    \begin{eqnarray*} 	\bar{y} \cdot (b - a) = \int\limits_{a}^{b}f(x)\cdot dx  			&\Rightarrow& 			\bar{y} = \frac{1}{(b - a)}\cdot\int\limits_{a}^{b}f(x)\cdot dx  \end{eqnarray*}


Teorema

Teorema del valor medio para el cálculo integral


Sea y = f(x) una función continua y diferenciable en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces, en el intervalo abierto (a,b) existe un número c tal que:

    \begin{equation*} 	f(c)\cdot (b-a) = \int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx \end{equation*}


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