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6.10 Teoremas de Pappus

Se enuncian los dos teoremas de Pappus y se ejemplifica su uso.


Considere la fórmula para calcular la coordenada y del centroide de la curva C,

    \begin{eqnarray*} \bar{y} &=& \frac{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\cdot dx}{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\cdot dx} \\ &=& \frac{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\cdot dx}{L} \end{eqnarray*}

donde L representa la longitud de la gráfica de la función y = f(x) desde x = a hasta x = b. Multiplique ambos lados de la igualdad por 2\,\pi\,L, para obtener:

    \begin{equation*} 2\,\pi\,\bar{y}\cdot L = 2\,\pi\,\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\cdot dx \end{equation*}

El lado derecho del signo igual representa el área superficial del sólido de revolución generado cuando R gira alrededor del eje x. Este valor puede calcularse directamente multiplicando 2\,\pi por la longitud de la curva (L) por la distancia desde el centroide hasta el eje de rotación. Este resultado es el «segundo teorema de Pappus».

Teorema

Segundo teorema de Pappus


Sea y = f(x) una función continua y diferenciable en el intervalo [a, b], en el cual y \geq 0. Sea S el área superficial del sólido de revolución obtenido al rotar la gráfica C de y = f(x) en el intervalo dado sobre el eje x. Entonces, S es igual a la longitud de C, multiplicada por la longitud de la ruta circular a través de la cual se gira el centroide de C.

Por lo tanto, para calcular el área superficial S de un sólido de revolución generado por la rotación de una curva alrededor de un eje dado,

    \begin{equation*} S = L\cdot 2\,\pi \cdot \bar{y} \end{equation*}

donde L es la longitud de la gráfica de y = f(x), \bar{y} es la distancia desde el eje de rotación al centroide de la curva.

Ejemplo 6.10.4

Calcule el área superficial del toro generado por la rotación de la circunferencia

    \[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

alrededor del eje x.

En este caso, L = 2\,\pi\,r, y \bar{y} = k, por el teorema de Pappus,

    \begin{equation*} S = L\cdot 2\,\pi \cdot \bar{y} = (2\,\pi\,r)\cdot 2\,\pi\cdot(k) = 4\,\pi^2 r\cdot k \end{equation*}

El caso más general del segundo teorema de Pappus es este: «si una curva plana L se mueve de manera que sea siempre perpendicular a la trayectoria C de su centroide, entonces el área de la superficie generada es igual al producto de la longitud de la curva L multiplicada por la longitud de la ruta C». Como en el caso anterior, se supone que el sólido generado no se cruza a sí mismo.

Ejemplo 6.10.5

Calcule las coordenadas (\bar{x}, \bar{y}) del centroide de la semicircunferencia de radio ~r~.

Por la simetría de la circunferencia, es claro que \bar{x} = 0. De acuerdo con el segundo teorema de Pappus, S = 2\,\pi\,\bar{y}\,L. En este caso, S es el área superficial de la esfera, L = \pi\,r, y se requiere conocer el valor de \bar{y}. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} \bar{y} &=& \frac{S}{2\,\pi\,L} \\ &=& \frac{4\,\pi\,r^2}{2\,\pi^2\,r} \\ &=& \frac{2\,r}{\pi} \end{eqnarray*}

Es decir, el centroide de la semicircunferencia está ubicado en el punto (0,2\,r/\pi).

Ejemplo 6.10.6

Aplicando el segundo teorema de Pappus justifique la fórmula para calcular el diferencial de área superficial de un sólido de revolución que se obtiene cuando se gira alrededor del eje x la gráfica de la función y = f(x).

Considere el área superficial dS de una parte infinitamente delgada correspondiente al subintervalo que empieza en x y termina en x + dx de la superficie referida en el problema. De acuerdo con el segundo teorema de Pappus, dS se obtiene multiplicando 2\,\pi por la longitud dL de una parte infinitamente pequeña de la curva por f(x) (la distancia del diferencial de longitud de arco dL hasta el eje x):

    \begin{eqnarray*} dS &=& 2\,\pi\,f(x) \,dL \\ &=& 2\,\pi\,f(x)\,\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx \end{eqnarray*}

Ejercicios: Vea las páginas 231 y 232 del documento al que se puede acceder aquí.

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