Considere la fórmula para calcular la coordenada del centroide de la curva
,
donde representa la longitud de la gráfica de la función
desde
hasta
. Multiplique ambos lados de la igualdad por
, para obtener:
El lado derecho del signo igual representa el área superficial del sólido de revolución generado cuando gira alrededor del eje
. Este valor puede calcularse directamente multiplicando
por la longitud de la curva (
) por la distancia desde el centroide hasta el eje de rotación. Este resultado es el «segundo teorema de Pappus».
Teorema
Segundo teorema de Pappus
Sea

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Por lo tanto, para calcular el área superficial de un sólido de revolución generado por la rotación de una curva alrededor de un eje dado,
donde es la longitud de la gráfica de
,
es la distancia desde el eje de rotación al centroide de la curva.
Ejemplo 6.10.4
Calcule el área superficial del toro generado por la rotación de la circunferencia
alrededor del eje .
En este caso, , y
, por el teorema de Pappus,
El caso más general del segundo teorema de Pappus es este: «si una curva plana se mueve de manera que sea siempre perpendicular a la trayectoria
de su centroide, entonces el área de la superficie generada es igual al producto de la longitud de la curva
multiplicada por la longitud de la ruta
». Como en el caso anterior, se supone que el sólido generado no se cruza a sí mismo.
Ejemplo 6.10.5
Calcule las coordenadas del centroide de la semicircunferencia de radio
.
Por la simetría de la circunferencia, es claro que . De acuerdo con el segundo teorema de Pappus,
. En este caso,
es el área superficial de la esfera,
, y se requiere conocer el valor de
. Por lo tanto,
Es decir, el centroide de la semicircunferencia está ubicado en el punto .
Ejemplo 6.10.6
Aplicando el segundo teorema de Pappus justifique la fórmula para calcular el diferencial de área superficial de un sólido de revolución que se obtiene cuando se gira alrededor del eje la gráfica de la función
.
Considere el área superficial de una parte infinitamente delgada correspondiente al subintervalo que empieza en
y termina en
de la superficie referida en el problema. De acuerdo con el segundo teorema de Pappus,
se obtiene multiplicando
por la longitud
de una parte infinitamente pequeña de la curva por
(la distancia del diferencial de longitud de arco
hasta el eje
):
Ejercicios: Vea las páginas 231 y 232 del documento al que se puede acceder aquí.
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