6.10 Teoremas de Pappus

Ejemplo 6.10.1

Considere una elipse en el plano $xy$ con centro en $C(h, k)$ que no corte al eje $x$ , gire alrededor de dicho eje. Calcule el volumen del sólido generado suponiendo que el eje menor y el eje mayor de la elipse miden, respectivamente, $2\,a$ y $2\,b$ .

Sabiendo que en este caso, $A = \pi\,ab$ , y $\bar{y} = k$ , por el teorema de Pappus se sigue que:

$\begin{eqnarray*} V &=& A\cdot 2\,\pi \cdot \bar{y} \\ &=& (\pi\,ab)2\,\pi\cdot(k) \\ &=& 2\,\pi^2 a\,b\,k \end{eqnarray*}$

Observe que el volumen generado es independiente de la posición del eje de la elipse.

Ejemplo 6.10.2

Un toro es un sólido obtenido de la rotación de un círculo alrededor de un eje que se encuentra en el plano de este círculo y sin intersecarlo. El centro del círculo describe un círculo, llamado círculo axial del toro, su centro se llama centro del toro. Calcule el volumen del toro generado por la rotación de la circunferencia $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ alrededor del eje $x$ .

Sabiendo que para este caso, $A = \pi\,r^2$ , y $\bar{y} = k$ , por el teorema de Pappus,

$\begin{eqnarray*} V &=& A\cdot 2\,\pi \cdot \bar{y} \\ &=& (\pi\,r^2)\cdot 2\,\pi\cdot(k) \\ &=& 2\,\pi^2 r^2\cdot k \end{eqnarray*}$

El caso más general del primer teorema de Pappus es este: «si alguna región plana $R$ se mueve de modo que siempre sea perpendicular al trayecto $C$ de su centroide, entonces el volumen del sólido generado es igual al producto de la longitud de la curva $C$ multiplicado por el área del región $R$ ». En este caso, se supone que el sólido generado no se corta a sí mismo.

Ejemplo 6.10.3

Calcule la ubicación del centroide $(\bar{x},\bar{y})$ del semicírculo superior de radio $a$ .

Considere en el plano $xy$ la circunferencia del radio $a$ , cuya ecuación es: $x^2 + y^2 = a^2$ . Se requiere calcular el centroide a la parte del círculo para la cual $y \geq 0$ . Debido a la simetría del semicírculo, su centroide se encuentra en el eje $y$ . Es decir, $\bar{x} = 0$ .

A medida que el semicírculo superior gira alrededor del eje $x$ , se genera una esfera de radio $a$ . Por el primer teorema de Pappus

$\begin{equation*} V = A\cdot 2\,\pi \cdot \bar{y} \end{equation*}$

Sabiendo que para este caso, $A = \pi\,a^{2} / 2$ , y $V = 4\,\pi\,a^{3} / 3$ , resolviendo para $\bar{y}$ , se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \bar{y} &=& \frac{V}{A\cdot 2\,\pi} \\ &=& \frac{\displaystyle\left(\frac{4}{3}\,\pi\,a^{3}\right)}{\displaystyle\left(\frac{1}{2}\,\pi\,a^{2}\right)\cdot 2\,\pi} \\ &=& \frac{4\,a}{3\,\pi} \end{eqnarray*}$