6.10 Teoremas de Pappus

Considere la fórmula para calcular la coordenada $y$ del centroide (vea la unidad de aprendizaje titulada Centro de masa) de una región plana $R$ delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ , el eje $x$ y las líneas verticales $x = a$ y $x = b$ ,

$\begin{eqnarray*} \bar{y} &=& \frac{\displaystyle\frac{1}{2}\,\int\limits_{a}^{b} [f(x)]^2\cdot dx}{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot dx} \\ &=& \frac{\displaystyle\frac{1}{2}\,\int\limits_{a}^{b} [f(x)]^2\cdot dx}{A} \end{eqnarray*}$

donde $A$ es el área de la región mencionada. Multiplique ambos lados de la igualdad por $2\,\pi\,A$ , para obtener:

$\begin{equation*} 2\,\pi\,\bar{y}\cdot A = \pi \int\limits_{a}^{b} [f(x)]^2\cdot dx \end{equation*}$

El resultado en el lado derecho de la igualdad es exactamente el volumen del sólido de revolución generado cuando $R$ gira alrededor del eje $x$ . Por lo tanto, el volumen referido puede calcularse multiplicando $2\,\pi$ por el área de la región ( $A$ ) por la distancia del centroide al eje de rotación ( $\bar{y}$ ). Este resultado se conoce como el «primer teorema de Pappus».

Teorema

Primer teorema de Pappus

El volumen de un sólido de revolución generado por una región plana es igual al área de la región multiplicada por la longitud del trayecto del centroide de la región.

En ciertos casos, es posible calcular mediante el teorema de Pappus el volumen de un sólido de revolución sin el uso de integrales definidas cuando se conoce el área de la región que gira y la ubicación de su centroide. Para este fin, aplique la fórmula:

$\begin{equation*} V = A\cdot 2\,\pi \cdot \bar{y} \end{equation*}$