6.1 Longitud de arco

En esta parte del curso se consideran algunas aplicaciones de la integral definida. Para cada una es imperativo enfocar el estudio en el entendimiento del establecimiento del diferencial de la cualidad a cuantificar. Recuerde que la integral definida es el resultado de sumar una cantidad infinitamente grande de diferenciales.

El establecimiento de la integral definida consiste en dividir al todo apropiadamente -esto es, de manera que para cada una de sus partes, se pueda calcular lo que se quiere calcular del todo-, calcular la cualidad para una parte genérica (el diferencial de la cualidad) y sumar todas las partes. Dado que el todo se dividió en una cantidad infinitamente grande de partes, el concepto de integral definida emerge como la solución a este tipo de problemas.

En las primeras cinco aplicaciones consideradas en este libro se ejemplifica el uso del decálogo para el establecimiento de una integral definida (que se enuncia en la unidad de aprendizaje titulada 4.4 Decálogo para el establecimiento de una integral definida). Este decálogo sirve como un esquema de solución para este tipo de problemas. Se espera que el lector siga aplicándolo en todos los ejemplos resueltos y en los ejercicios donde sea conveniente.

El problema de calcular la longitud de la curva se conocía en la antigüedad como la «rectificación de la curva». Este problema consiste en calcular la longitud de una parte de la gráfica de una función continua $y = f(x)$ . El siguiente procedimiento es aplicable si la función es continua y diferenciable en un intervalo dado. Primero se calcula un valor aproximado de la longitud y luego, la aproximación sugiere que para obtener el valor exacto, se debe evaluar una integral definida.

Cálculo aproximado de la longitud de arco

Considere la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $x\in[a, b]$ . Para calcular un valor aproximado de su longitud en el intervalo mencionado, siga el procedimiento que se explica a continuación.

1. Sea «el todo» la parte de la gráfica de la función $y = f(x)$ que inicia en el punto $(a, f(a))$ y termina en el punto $(b,f(b))$ .

2. Sea $L$ el valor exacto de la longitud de esa parte de la gráfica.

3. Divida el intervalo $[a,b]$ en un número (natural) finito $n$ de subintervalos todos de igual longitud, $\Delta x$ , de manera que:
$\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}$
Suponga que los extremos de cada subintervalo están en $x_{i}$ y $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , tal que:
$\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

4. Observe que a cada subintervalo $[x_{i}, x_{i+1}]$ , le corresponde una parte de la gráfica de la función.

5. Sea $\Delta L_{i}$ el valor exacto de la longitud de la parte de la gráfica de la función correspondiente al $i-$ ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado de la longitud $\Delta L_{i}$ de cada una de estas partes considerando que cada una es un segmento de recta y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación de la longitud de la gráfica de la función, con base en que:
$\begin{equation*} L = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta L_{i} \end{equation*}$

7. Evalúe la función $y = f(x)$ en cada punto $x_i$ para $0 \leq i \leq n$ para obtener las coordenadas de los puntos $(x_{i}, f(x_{i}))$
sobre la gráfica de la función. Observe que éstas son las coordenadas de los puntos $P_{i}(x_i, f(x_i))$ de los extremos de cada elemento de longitud $\Delta L_i$ .
Para cada par de puntos $P_{i}$ y $P_{i+1}$ , calcule la longitud $\overline{P_{i}P_{i+1}}$ , aplicando el teorema de Pitágoras. Este es un valor aproximado de la longitud del elemento de longitud de arco $\Delta L_{i}$ de esa parte de la curva en el subintervalo correspondiente $[x_{i}, x_{i+1}]$ .
$\begin{equation*} \Delta L_{i} \approx \sqrt{(x_{i+1} - x_{i})^2 + (f(x_{i+1}) - f(x_{i}))^2} \end{equation*}$

8. Para simplificar esta expresión, observe que $x_{i+1} = x_{i} + \Delta x$ , implica que $x_{i+1} - x_{i} = \Delta x$ , y por el método de Euler, $f(x_{i+1}) = f(x_{i} + \Delta x) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x$ . Entonces,
$\begin{eqnarray*} \Delta L_{i} &\approx& \sqrt{(x_{i+1} - x_{i})^2 + (f(x_{i+1}) - f(x_{i}))^2} \\ &\approx& \sqrt{(\Delta x)^2 + (\cancel{f(x_i)} + f'(x_i)\cdot \Delta x - \cancel{f(x_{i}}))^2} \\ &=& \sqrt{(\Delta x)^2 + (f'(x_i)\cdot \Delta x)^2} \\ &=& \sqrt{(\Delta x)^2 + (f'(x_i))^2(\Delta x)^2} \\ &=& \sqrt{\left[1 + (f'(x_i))^2\right](\Delta x)^2} \\ \Delta L_{i} &\approx & \sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

9. Sume el valor aproximado de la longitud $\Delta L_{i}$ de cada elemento correspondiente a todos los sub-intervalos.
$\begin{equation*} L = \sum\limits_{i=0}^{n-1} \Delta L_{i} \approx \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sqrt{1 + (f'(x_i))^2}\cdot \Delta x \end{equation*}$

10. Evalúe la suma numéricamente.

Observe que a medida que se incrementa $n$ (el número de partes en las que se ha dividido el intervalo $[a, b]$ ) cada segmento de línea está más cerca de la parte correspondiente de la gráfica de la función por lo que la aproximación obtenida de $L$ se acerca a su valor exacto.

Luego, para calcular el valor exacto de la longitud del arco, en lugar de dividir el intervalo en un número finito de partes, es necesario dividirlo en una cantidad infinitamente grande de partes, de modo que cada subintervalo sea infinitamente pequeño.

Cálculo exacto de la longitud de arco

Para calcular el valor exacto de la longitud de la gráfica de la función continua y diferenciable $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ , desde $x = a$ hasta $x = b$ , aplique el siguiente procedimiento.

1. Considere a «el todo» como la parte de la gráfica de la función $y = f(x)$ que inicia en el punto $(a, f(a))$ y termina en $(b,f(b))$ .

2. Sea $L$ el valor exacto de la longitud de la gráfica de la función $y = f(x)$ desde $x = a$ , hasta $x = b$ .

3. Divida el intervalo $[a, b]$ en una cantidad infinitamente grande de subintervalos, todos con la misma longitud infinitamente pequeña, $dx$ .

4. Considere un subintervalo genérico $[x, x + dx]$ para representarlos a todos. A este subintervalo genérico corresponde una parte infinitamente pequeña de la gráfica de la función.

5. Sea $dL$ el valor exacto de la longitud de dicha parte genérica.

6. La suma de todos los $dL$ ‘s es igual a $L$ . Dado que se tiene una cantidad infinitamente grande de diferenciales de longitud de arco, esta suma se representa mediante una integral definida:
$\begin{equation*} L = \int\limits_{R} dL \end{equation*}$
donde $R$ representa los límites para que se cubra el intervalo $[a,b]$ .

7. Como la parte genérica de la gráfica es infinitamente pequeña, por el postulado de Leibniz, es un segmento de recta. Por lo tanto, el valor exacto de $dL$ se puede calcular usando el teorema de Pitágoras. Puesto que los extremos del elemento genérico del diferencial de longitud de arco están en los puntos $(x, f(x))$ y $(x + dx, f(x + dx))$ ,
$\begin{equation*} dL = \sqrt{[x + dx - x]^2 + \left[f(x + dx) - f(x)\right]^2} = \sqrt{[dx]^2 + \left[dy\right]^2} \end{equation*}$

8. Según el postulado de Leibniz, $f(x + dx) = f (x) + f '(x) \cdot dx$ , por lo tanto,
$\begin{equation*} dy = f(x + dx) - f(x) = \cancel{f(x)} + f'(x)\cdot dx - \cancel{f(x)} = f'(x) \cdot dx \end{equation*}$
Aplicando este resultado en el diferencial de longitud de arco, se obtiene:
$\begin{eqnarray*} dL &=& \sqrt{[dx]^2 + \left[dy\right]^2} \\ &=& \sqrt{[dx]^2 + \left[f'(x)\cdot dx\right]^2} \\ &=& \sqrt{[dx]^2 + \left[f'(x)\right]^2 [dx]^2} \\ &=& \sqrt{\left(1 + \left[f'(x)\right]^2\right) [dx]^2} \\ dL &=& \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\cdot dx \end{eqnarray*}$

9. Ahora se suma la longitud $dL$ del elemento diferencial de la longitud del arco para todas y cada una de las partes. Pero en este caso, se debe sumar una cantidad infinita de diferenciales, por lo que la suma se representa como una integral definida:
$\begin{equation*} L = \int\limits_{R}dL = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\cdot dx \end{equation*}$
En la ecuación anterior, $R$ representa el intervalo $x \in [a, b]$ , que es explícito en la última expresión: la suma de los diferenciales de longitud de arco va desde $x = a$ hasta $x = b$ .

10. Finalmente se calcula el valor numérico de la integral definida aplicando el teorema fundamental del cálculo:
$\begin{equation*} L = \int\limits_{R}dL = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\cdot dx = F[b] - F[a] \end{equation*}$
donde $y = F(x)$ es una antiderivada de $y = \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}$ .

En la fórmula para calcular la longitud del arco de la gráfica de una función dada $y = f(x)$ desde $x = a$ hasta $x = b$ , está implícita la diferenciabilidad de la función en el intervalo $[a, b]$ , porque el diferencial de la longitud del arco lo incluye. Incluso si ese no fuera el caso, en la deducción de $dL$ se utilizó el postulado de Leibniz, $f(x + dx) = f (x) + f'(x) \cdot dx$ . Recuerde que aquí existe la suposición de que $y = f(x)$ es diferenciable en $x \in [a, b]$ . Tenga en cuenta esto siempre que se aplique el postulado de Leibniz para establecer una integral definida.