6.1 Longitud de arco

El diferencial de la longitud del arco en coordenadas polares puede deducirse fácilmente considerando un triángulo rectángulo infinitamente pequeño con catetos $dr$ y $r \cdot d \theta$ , y siendo su hipotenusa $dL$ , de modo que

$\begin{eqnarray*} dL &=& \sqrt{(dr)^2 + r^2\cdot\left(d\theta\right)^2} \\ &=& \sqrt{(dr)^2\cdot\left(\frac{d\theta}{d\theta}\right)^2 + r^2 \cdot\left(d\theta\right)^2} \\ &=& \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2} \cdot d\theta \end{eqnarray*}$

Esta es la fórmula del diferencial de longitud de arco en coordenadas polares. Sin embargo, cuando se conoce la ecuación paramétrica de la curva, se puede utilizar el siguiente artificio.

Ejemplo 6.1.6

Calcule la circunferencia del círculo: $x^2 + y^2 = a^2$ mediante el uso de coordenadas polares haciendo $x = a\,\cos(\theta)$ , y $y = a\,\sin(\theta)$ .

En este caso, mirando la figura en donde se deduce el diferencial de longitud de arco, el diferencial de la longitud del arco se convierte en:

$\begin{equation*} dL = \sqrt{dx^{2} + dy^{2}} = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta} \cdot d\theta\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta} \cdot d\theta\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \cdot d\theta \end{equation*}$

Consecuentemente,

$\begin{equation*} dL = \sqrt{a^{2}\sin^2(\theta) + a^{2}\cos^2(\theta)} \cdot d\theta = \sqrt{a^{2}\left[\sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta)\right]} \cdot d\theta = a \cdot d\theta \end{equation*}$

Para cubrir toda la circunferencia, los valores para el parámetro $\theta$ van desde $\theta = 0$ hasta $\theta = 2\,\pi$ . Estos son los límites de la integral definida. Por lo tanto,

$\begin{equation*} L = \int\limits_{R} \! dL = \int\limits_{0}^{2\pi} a \cdot d\theta = \left.a\cdot \theta\right\vert_{0}^{2\pi} = 2\,\pi\,a \end{equation*}$

Ejercicios: Vea la página 167 del documento al que se puede acceder aquí.

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Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto de la longitud de arco de la gráfica de una función continua y diferenciable y se ejemplifica el cálculo de longitud de arco.

Ejemplo 6.1.6