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6.1 Longitud de arco

Se aplica el decálogo para establecer la integral definida que representa el valor exacto de la longitud de arco de la gráfica de una función continua y diferenciable y se ejemplifica el cálculo de longitud de arco.



Ejemplo 6.1.1

Calcule la longitud de la gráfica de la función y = \left(\nicefrac{2}{3}\right)\,\left(1 + x^2\right)^{3/2} desde x = 1 hasta x = 2.

Para obtener el diferencial de la longitud del arco en este caso, primero calcule f'(x):

    \begin{equation*} 	f'(x) = 2\,x\,\sqrt{1 + x^2} \end{equation*}

Y el diferencial de longitud del arco es:

    \begin{eqnarray*} 	dL &=& \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^{2}} \cdot dx	\\ 		&=& \sqrt{1 + 4\,x^2(1 + x^2)} \cdot dx	\\ 		&=& \sqrt{1 + 4\,x^2 + 4\,x^4} \cdot dx	\\ 		&=& \sqrt{\left(1 + 2\,x^2\right)^2} \cdot dx	\\ 		&=& \left(1 + 2\,x^2\right) \cdot dx \end{eqnarray*}

pues 1 + 2\,x^2 es positivo para 1 \leq x \leq 2. Entonces, la longitud de arco es:

    \begin{equation*} 	L = \int\limits_{R} dL  		= \int\limits_{1}^{2} \left(1 + 2\,x^2\right) \cdot dx	 		= \left.\left[ x + \frac{2}{3}\,x^3\right]\right\vert_{1}^{2}	 		= \frac{17}{3} \end{equation*}



Ejemplo 6.1.2

Calcule la longitud del arco de la catenaria

    \begin{equation*} 	y = \cosh x  \end{equation*}

desde x = -a hasta x = a.

Recordando que \cosh^2(x)  = 1 + \sinh^2(x) (vea las identidades trigonométricas hiperbólicas), el diferencial de la longitud del arco para esta curva es:

    \begin{equation*} 	dL = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx  		= \sqrt{1 + \sinh^2(x)} \cdot dx 		= \cosh(x) \cdot dx \end{equation*}

Por lo tanto, la longitud de la gráfica de la catenaria desde x = -a hasta x = a es:

    \begin{equation*} 	L = \int\limits_{R} dL  		= \int\limits_{-a}^{a} \cosh(x) \cdot dx 		= \left.\sinh(x)\right\vert_{-a}^{a} 		= \sinh(a) - \sinh(-a) 		= 2\,\sinh(a) \end{equation*}



Ejemplo 6.1.3

Un astroide es el lugar geométrico de un punto en un círculo de radio b que rueda dentro de un círculo fijo de radio a = 4\,b. Su ecuación en coordenadas rectangulares es:

    \begin{equation*} 	x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} \end{equation*}

Calcule la longitud de esta curva para y \geq 0.

A partir de la ecuación del astroide,

    \begin{equation*} 	y = \left[a^{2/3} - x^{2/3}\right]^{3/2} \end{equation*}

Y su derivada es:

    \begin{equation*} 	f'(x) = - \sqrt{a^{2/3} - x^{2/3}} \cdot x^{-1/3} \end{equation*}

Por lo que el diferencial de longitud de arco es:

    \begin{eqnarray*} 	dL &=& \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx	\\ 		&=&  \sqrt{1 + \frac{a^{2/3} - x^{2/3}}{x^{2/3}}} \cdot dx	\\ 		&=& \sqrt{\frac{x^{2/3} + a^{2/3} - x^{2/3}}{x^{2/3}}}\cdot dx	\\ 		&=& \frac{a^{1/3}}{x^{1/3}}\cdot dx	\\ 		&=& a^{1/3}x^{-1/3} \cdot dx \end{eqnarray*}

Y el valor exacto de la longitud de esta curva es:

    \begin{equation*} 	L = \int\limits_{R} dL 		= \int\limits_{-a}^{a} a^{1/3}x^{-1/3} \cdot dx 		= \left.\frac{3}{2}\,a^{1/3} \cdot x^{2/3}\right\vert_{-a}^{a} 		= 3\,a \end{equation*}





Ejemplo 6.1.4

Calcule la longitud de la gráfica de la parábola y^2 = 4\,x desde (0,0) hasta (4,4).

De la ecuación de la parábola, se sigue, f(x) = 2\,\sqrt{x}, y de esto, f'(x) = 1/\sqrt{x}. De acuerdo con la fórmula para calcular el diferencial de longitud del arco,

    \begin{equation*} 	dL = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx  		= \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \cdot dx 		= \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \cdot dx 		\qquad\Rightarrow\qquad 		L = \int\limits_{0}^{4} \! \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \cdot dx \end{equation*}

Para calcular la antiderivada correspondiente, defina

    \begin{equation*} 	z^2 = \frac{x + 1}{x}\quad\Rightarrow\quad 	x = \frac{1}{z^2 - 1}\quad\Rightarrow\quad 	dx = \frac{-2\,z}{(z^2 - 1)^2} \cdot dz \end{equation*}

Este cambio de variable conduce a

    \begin{equation*} 	\int \! \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \cdot dx  		= \int \! \frac{-2\,z^2}{(z^2 - 1)^2} \cdot dz \end{equation*}

Y la aplicación de fracciones parciales a esta expresión racional da:

    \begin{equation*} 	\int \! \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \cdot dx  		= \int \left[\frac{1/2}{z+1} - \frac{1/2}{z - 1} - \frac{1/2}{(z + 1)^2} - \frac{1/2}{(z - 1)^2}\right] \cdot dz \end{equation*}

Para los dos primeros términos, la antiderivada es demasiado fácil. Para los últimos dos términos, use u = z + 1, de modo que du = dz y v = z - 1, lo que implica que dv = dz, y aplique la regla de la potencia:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{-2\,z^2}{(z^2 - 1)^2} \cdot dz 	&=& \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{z + 1}{z - 1} \right\vert % Primeros dos términos 		+	\frac{1/2}{z + 1} + \frac{1/2}{z - 1} + \hat{C}		\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{z + 1}{z - 1} \right\vert + \frac{z}{z^2 - 1}	% últimos dos términos 		+ \hat{C} \end{eqnarray*}

Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \cdot dx  		&=& \int \! \frac{-2\,z^2}{(z^2 - 1)^2} \cdot dz			\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{z + 1}{z - 1} \right\vert + \frac{z}{z^2 - 1} + \hat{C}		\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{\displaystyle\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} + 1}{\displaystyle\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}} - 1} \right\vert  				+ \frac{\displaystyle\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x}}}{\displaystyle\frac{x +1}{x} - 1} + C	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} \right\vert  				+ \sqrt{x}\,\sqrt{x + 1} + C \end{eqnarray*}

Al evaluar la integral definida, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int\limits_{0}^{4} \! \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \cdot dx  		&=& \left.\frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} \right\vert  				+ \sqrt{x}\,\sqrt{x + 1} \right\vert_{0}^{4}		\\ 		&=& 2\,\sqrt{5} + \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} \right\vert \end{eqnarray*}



Ejemplo 6.1.5

Calcule la longitud de la circunferencia: x^2 + y^2 = a^2.

Por la ecuación de la circunferencia, y = \sqrt{a^2 - x^2} (para y \geq 0). Por lo tanto, su derivada es f'(x) = -x / \sqrt{a^2 - x^2}, y el correspondiente diferencial de longitud de arco es:

    \begin{equation*} 	dL = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx	 		= \sqrt{1 + \frac{x^2}{a^2 - x^2}} \cdot dx	 		= \sqrt{ \frac{a^2 - x^2 + x^2}{a^2 - x^2}} \cdot dx	 		= \frac{a}{\sqrt{ a^2 - x^2}} \cdot dx \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	C &=& 4\,\int\limits_{0}^{a} \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}	\\ 		&=& \left.4\,a\,\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)\right\vert_{0}^{a} = 2\,\pi\,a \end{eqnarray*}

En palabras, la longitud de la circunferencia es igual a dos veces \pi por su radio.



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