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5.6 Técnica de sustitución trigonometrica

Se ejemplifica la técnica de sustitución trigonométrica para el cálculo de antiderivadas.
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En esta técnica de integración, la estrategia consiste en un cambio de variable utilizando alguna función trigonométrica que permite la reducción del integrando en algo que es una antiderivada inmediata.

Si ninguna de las técnicas de integración discutidas anteriormente es aplicable, se sugiere considerar las siguientes sustituciones:

\begin{tabular}{ccc} Si el integrando incluye: & \textcolor{white}{~ ~ ~ ~ ~} & Def{}ina: \\ $\sqrt{a^2 - u^2}$ & & $u = a\,\sin\theta$ \\ $\sqrt{a^2 + u^2}$ & & $u = a\,\tan\theta$ \\ $\sqrt{u^2 - a^2}$ & & $u = a\,\sec\theta$ \\ \end{tabular}

donde a es una constante y u es una variable. A veces, estas mismas sustituciones pueden usarse incluso si la raíz cuadrada no está involucrada.

Ejemplo 5.6.1

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{9 + x^2} \end{equation*}


Sea x = 3\,\tan\theta, de manera que, dx = 3\,\sec^2\theta \cdot d\theta. Aplicando este cambio de variable, se obtiene:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{9 + x^2} &=& \int \! \frac{3\,\sec^2\theta \cdot d\theta}{9 + 9\,\tan^2\theta} \\ &=& \frac{3}{9}\,\int \!\frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{1 + \tan^2\theta} \\ &=& \frac{1}{3}\,\int \!\frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta} \cdot d\theta \\ &=& \frac{1}{3}\,\int d\theta \\ &=& \frac{1}{3}\,\theta + \hat{C} \end{equation*}

Por definición, \tan\theta = \nicefrac{x}{3}, por lo tanto \theta = \arctan\left(\nicefrac{x}{3}\right). Entonces,

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\,\arctan\left( \frac{x}{3} \right) + C \end{equation*}

Ejemplo 5.6.2

Calcule:

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{5\,x^2 + 4} \end{equation*}


Sea u = \sqrt{5}\,x = 2\,\tan \theta, de manera que, dx = (2 / \sqrt{5})\,\sec^2\theta \cdot d\theta. Aplicando este cambio de variable, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{5\,x^2 + 4} &=& \frac{2}{\sqrt{5}}\,\int\frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{4\,\tan^2\theta + 4} \\ &=& \frac{1}{2\,\sqrt{5}}\,\int\frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{\tan^2\theta + 1} \\ &=& \frac{1}{2\,\sqrt{5}}\,\int\frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{\sec^2\theta} \\ &=& \frac{1}{2\,\sqrt{5}}\,\int d\theta = \frac{1}{2\,\sqrt{5}}\,\theta + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, \tan\theta = \left(\sqrt{5}\,x / 2\right), por lo tanto, \theta = \arctan\left(\sqrt{5}\,x / 2\right). Entonces,

    \begin{equation*} \int \frac{dx}{5\,x^2 + 4} = \frac{1}{2\,\sqrt{5}}\,\arctan\left(\frac{\sqrt{5}\,x}{2}\right) + C \end{equation*}

Ejemplo 5.6.3

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{b^2x^2 + c^2} \end{equation*}


Sea u = b\,x = c\,\tan\theta, para tener dx = (c/b)\,\sec^2\theta \cdot d\theta. Aplicando este cambio de variable, tiene:

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{b^2x^2 + c^2} &=& \int \! \frac{\frac{c}{b}\,\sec^2\theta \cdot d\theta}{b^2\left(\frac{c^2}{b^2}\right)\,\tan^2\theta + c^2} \\ &=& \frac{c}{b}\cdot\frac{1}{c^2}\,\int \!\frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{\tan^2\theta + 1} \\ &=& \frac{1}{bc} \,\int d\theta = \frac{1}{bc}\,\theta + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, b\,x = c\,\tan\theta, de donde \theta = \arctan\left(\nicefrac{b\,x}{c}\right). Consecuentemente,

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{b^2x^2 + c^2} = \frac{1}{bc}\,\arctan\left(\frac{b\,x}{c}\right) + C \end{equation*}

La antiderivada del siguiente ejemplo ya se ha calculado (vea el ejemplo 5.2.16). El resultado se justifica (de nuevo) mediante la técnica de sustitución trigonométrica.

Ejemplo 5.6.4

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} \end{equation*}


Tenga en cuenta que el denominador de la fracción no tiene una forma similar a la mencionada cuando es conveniente usar la sustitución trigonométrica. Pero para completar cuadrados multiplique por 3 en el numerador como en el denominador:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} = \int \! \frac{3\cdot dx}{9\,x^2 + 12\,x + 21} \end{equation*}

Completando cuadrados en el denominador, se obtiene:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} = \int \! \frac{3\cdot dx}{(3\,x + 2)^2 + 17} \end{equation*}

Ahora defina: 3\,x + 2 = \sqrt{17}\,\tan\theta. De aquí, dx = \left(\sqrt{17}/3\right)\,\sec^2\theta \cdot d\theta. Ahora se aplica el cambio de variable:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} = 3\cdot \int \! \frac{\left(\sqrt{17}/3\right)\,\sec^2\theta \cdot d\theta}{17\,\tan^2\theta + 17} \end{equation*}

Simplificando,

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} = \frac{\sqrt{17}}{17}\,\int \! \frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{\tan^2\theta + 1} \end{equation*}

Pero, \sec^2\theta = \tan^2\theta + 1. De esto, se sigue que:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} = \frac{\sqrt{17}}{17}\,\int \! d\theta = \frac{\sqrt{17}}{17}\,\theta + \hat{C} \end{equation*}

Y por definición, 3\,x + 2 = \sqrt{17}\,\tan\theta. Por lo tanto, \theta = \arctan\left((3\,x + 2) / \sqrt{17}\right). Entonces,

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 4\,x + 7} = \frac{\sqrt{17}}{17}\,\arctan\left(\frac{3\,x + 2}{\sqrt{17}}\right) + C \end{equation*}

Ejemplo 5.6.5

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{x\cdot dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} \end{equation*}


Observe que

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{x\cdot dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} &=& \frac{1}{6}\int \! \frac{6\,x + 2 - 2}{3\,x^2 + 2\,x + 2} \cdot dx \\ &=& \frac{1}{6}\int \! \frac{(6\,x + 2) \cdot dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} - \frac{1}{3}\,\int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} \end{eqnarray*}

Para calcular la última antiderivada, completando cuadrados, se sigue que 3\,x^2 + 2\,x + 2 = 3\,(x + \nicefrac{1}{3})^2 + \nicefrac{5}{3}. Por lo tanto,

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} = \int \!\frac{dx}{\left(x + \nicefrac{1}{3}\right)^2 + \nicefrac{5}{3}} \end{equation*}

Y para aplicar la técnica de sustitución trigonométrica, defina: \sqrt{3}\,(x + \nicefrac{1}{3}) = \left(\nicefrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\right)\,\tan\theta. De aquí que, dx = \left(\nicefrac{\sqrt{5}}{3}\right)\,\sec^2\theta \cdot d\theta. Aplicando este cambio de variable:

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} &=& \int \! \frac{\left(\nicefrac{\sqrt{5}}{3}\right)\,\sec^2\theta \cdot d\theta}{(\nicefrac{5}{3})\tan^2\theta + \nicefrac{5}{3}} \\ &=& \frac{\sqrt{5}}{5}\,\int \! \frac{\sec^2\theta \cdot d\theta}{\tan^2\theta + 1}\\ &=& \frac{\sqrt{5}}{5}\,\int d\theta \\ &=& \frac{5}{\sqrt{5}}\cdot\theta + \hat{C} \\ &=& \frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\arctan\left(\frac{3\,x + 1}{\sqrt{5}}\right) + C_{1} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{x\cdot dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} &=& = \frac{1}{6}\int \! \frac{(6\,x + 2) \cdot dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} - \frac{1}{3}\,\int \! \frac{dx}{3\,x^2 + 2\,x + 2} \\ &=& \frac{1}{6}\,\ln\left\vert 3\,x^2 + 2\,x + 2\right\vert - \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot\arctan\left(\frac{3\,x + 1}{\sqrt{5}}\right) + C \\ &=& \frac{1}{6}\,\ln\left\vert 3\,x^2 + 2\,x + 2\right\vert - \frac{\sqrt{5}}{15}\cdot\arctan\left(\frac{3\,x + 1}{\sqrt{5}}\right) + C \end{eqnarray*}


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