Ejemplo 5.6.16
Calcule:
Multiplicando en el numerador como en el denominador por , y completando cuadrados se obtiene:
Defina , de manera que
. Haciendo este cambio de variable,
Por definición, . Por lo tanto:
Entonces,
Ejemplo 5.6.17
Calcule:
En este caso es conveniente definir: , pues de esta manera,
. Haciendo este cambio de variable,
Ahora defina: , de manera que
. Aplicando este cambio de variable
Por definición, , así que:
y también,
Entonces,
Ejemplo 5.6.18
Calcule:
Sea , de manera que
. Usando este cambio de variable,
se puede usar sustitución trigonométrica. Sea , se sigue que
. Entonces,
Regresando la variable a términos de
, y luego a
, se obtiene:
Ejemplo5.6.19
Calcule:
Entonces, . Aplicando este cambio de variable,
El polinomio cuadrático que aparece en el denominador no se puede factorizar. Completando cuadrados,
Ahora defina:
Aplicando este nuevo cambio de variable,
Por definición,
Entonces, considerando el triángulo rectángulo de cateto adyacente de longitud y la hipotenusa de longitud
, aplicando el teorema de Pitágoras, se encuentra que la longitud del cateto opuesto es
.
Por lo tanto,
Consecuentemente,
Ejemplo 5.6.20
Calcule:
Sea , de manera que
. Usando este cambio de variable, se tiene:
Aplicando la identidad: , se obtiene:
Ambas antiderivadas ya se dedujeron previamente (vea la unidad de aprendizaje titulada «4.10 Antiderivadas de funciones trigonométricas» Secciones 4.10.13 y 4.10.3, respectivamente.) Simplificando se obtiene:
Por definición: , lo cual implica que
. A partir de esto, se puede dibujar un triángulo rectángulo con cateto adyacente al ángulo
de longitud
e hipotenusa
. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la longitud del cateto opuesto al ángulo
:
.
Haciendo uso de estos resultados, se puede reescribir la antiderivada en términos de :
Ejercicios: Vea la página 157 del documento al que se puede acceder aquí.
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