5.6 Técnica de sustitución trigonometrica

Contenido

1 Ejemplo 5.6.6
2 Ejemplo 5.6.7
3 Ejemplo 5.6.8
4 Ejemplo 5.6.9
5 Ejemplo 5.6.10

Ejemplo 5.6.6

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} \end{equation*}$

Defina $x = 2\,\sin\theta$ , de manera que $dx = 2\,\cos\theta \cdot d\theta$ . Haciendo este cambio de variable,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} &=& \int \!\frac{2\,\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{4 - 4\,\sin^2\theta}} \\ &=& \frac{2}{2}\,\int \! \frac{\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \\ &=& \int \! \frac{\cos\theta}{\cos\theta} \cdot d\theta \\ &=& \int d\theta \\ &=& \theta + \hat{C} \end{eqnarray*}$

Por definición, $\sin\theta = \nicefrac{x}{2}$ , por lo tanto $\theta = \arcsin\left(\nicefrac{x}{2}\right)$ . Consecuentemente,

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.6.7

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx \end{equation*}$

Sea $u = x^2$ . Entonces, $du = 2\,x \cdot dx$ . Aplicando este cambio de variable,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx &=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{2\,x \cdot dx}{\sqrt{1 - \left(x^2\right)^2}} \cdot dx \\ &=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} \end{eqnarray*}$

Ahora se requiere otro cambio de variable. Defina $u = x^2 = \sin\theta$ , de manera que $du = \cos\theta \cdot d\theta$ . Haciendo este cambio de variable, se sigue que:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx &=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} \\ &=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \\ &=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{\cos\theta\cdot d\theta}{\cos\theta} \\ &=& \frac{1}{2}\,\int d\theta \\ &=& \frac{1}{2}\,\theta + \hat{C} \end{eqnarray*}$

Por definición, $u = \sin\theta = x^2$ , por lo tanto, $\theta = \arcsin\left( x^2 \right)$ . Así que,

$\begin{equation*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx = \frac{1}{2}\,\arcsin\left( x^2 \right) + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.6.8

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} \cdot dx \end{equation*}$

Sea $u = x^2$ , de donde $x = \sqrt{u}$ , y por lo tanto, $dx = du / (2\,\sqrt{u})$ . Entonces,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} \cdot dx &=& \int \! \frac{\sqrt{u} \cdot du}{2\,\sqrt{u}\cdot \sqrt{a^4 - u^2}} \\ &=& \frac{1}{2} \, \int \! \frac{du}{\sqrt{a^4 - u^2}} \end{eqnarray*}$

Para aplicar la técnica de sustitución trigonométrica, defina $u = a^2\,\sin\theta$ , de manera que $du = a^2\,\cos\theta \cdot d\theta$ .
Aplicando este cambio de variable, se tiene:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \, \int \! \frac{du}{\sqrt{a^4 - u^2}} &=& \frac{1}{2} \, \int \! \frac{a^2\,\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{a^4 - a^4\,\sin^2\theta}} \\ &=& \frac{a^2}{2\,a^2} \, \int \! \frac{\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \\ &=& \frac{1}{2}\,\int d\theta \\ &=& \frac{1}{2}\cdot \theta + \hat{C} \end{eqnarray*}$

Por definición, $u = a^2\,\sin\theta$ , por lo tanto, $\theta = \arcsin(u / a^2) = \arcsin(x^2 / a^2)$ . Entonces,

$\begin{equation*} \int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} \cdot dx = \frac{1}{2}\,\arcsin\left(\frac{x^2}{a^2}\right) + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.6.9

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}} \end{equation*}$

Observe que $x^2 + 2\,ax = (x + a)^2 - a^2$ , así que se puede escribir:

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}} = \int \! \frac{dx}{\sqrt{(x + a)^2 - a^2}} \end{equation*}$

Ahora defina $x + a = a\,\sec\theta$ , de manera que $dx = a\,\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta$ . Aplicando este cambio de variable:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}} &=& \int \! \frac{dx}{\sqrt{(x + a)^2 - a^2}} \\ &=& \int \! \frac{a\,\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta}{\sqrt{a^2\sec^2\theta - a^2}} \\ &=& \frac{a}{a}\,\int \! \frac{\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta}{\sqrt{\sec^2\theta - 1}} \\ &=& \int \! \frac{\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta}{\tan\theta} \\ &=& \int \! \sec\theta \cdot d\theta \\ &=& \ln\left\vert \sec\theta + \tan\theta\right\vert + \hat{C} \end{eqnarray*}$

Para cambiar la expresión a términos de $x$ , se tiene por definición, que $\sec\theta = (x + a) / a$ . Geométricamente, considere un triángulo rectángulo, de cateto adyacente de longitud $a$ e hipotenusa de longitud $x + a$ , por el teorema de Pitágoras, el cateto opuesto mide: $\sqrt{(x + a)^2 - a^2}$ . Entonces, $\tan\theta = \sqrt{(x + a)^2 - a^2} / a$ . Consecuentemente,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}} &=& \ln\left\vert \frac{x + a}{a} + \frac{\sqrt{x^2 + 2\,ax}}{a} \right\vert + \tilde{C} \\ &=& \ln\left\vert x + a + \sqrt{x^2 + 2\,ax} \right\vert - \ln|a| + \tilde{C} \\ &=& \ln\left\vert x + a + \sqrt{x^2 + 2\,ax} \right\vert + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.6.10

Calcule:

$\begin{equation*} \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} \end{equation*}$

Observe que

$\begin{equation*} 2\,ax - x^2 = -(x^2 - 2\,ax + a^2) + a^2 = -(x - a)^2 + a^2 = a^2 - (x - a)^2 \end{equation*}$

Por lo tanto,

$\begin{equation*} \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} = \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}} \end{equation*}$

Sea $u = x - a = a \,\sin\theta$ . Entonces, $du = dx = a\,\cos\theta \cdot d\theta$ . Aplicando este cambio de variable, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} &=& \int \! \frac{[a + a\,\sin\theta][a\,\cos\theta\cdot d\theta]}{\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}} \\ &=& \frac{a^2}{a}\int \! \frac{[1 + \sin\theta]\cos\theta\cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \\ &=& a\,\int \! \frac{[1 + \sin\theta]\cos\theta\cdot d\theta}{\cos\theta} \\ &=& a\,\int [1 + \sin\theta]\cdot d\theta \\ &=& a\,\theta - a\,\cos\theta + \hat{C} \end{eqnarray*}$

Por definición, $\sin\theta = \nicefrac{(x - a)}{a}$ , por lo que, $\theta = \arcsin\left(\nicefrac{(x - a)}{a}\right)$ . También,

$\begin{equation*} \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x - a}{a}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{a^2} - \frac{(x - a)^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}{a} \end{equation*}$

Entonces,

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} &=& a\,\arcsin\left(\frac{x - a}{a}\right) - a\cdot \frac{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}{a} + C \\ &=& a\,\arcsin\left(\frac{x - a}{a}\right) - \sqrt{a^2 - (x - a)^2} + C \end{eqnarray*}$