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5.6 Técnica de sustitución trigonometrica

Se ejemplifica la técnica de sustitución trigonométrica para el cálculo de antiderivadas.



Ejemplo 5.6.6

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} \end{equation*}


Defina x = 2\,\sin\theta, de manera que dx = 2\,\cos\theta \cdot d\theta. Haciendo este cambio de variable,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}  		&=& \int \!\frac{2\,\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{4 - 4\,\sin^2\theta}}	\\ 		&=& \frac{2}{2}\,\int \! \frac{\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}	\\ 		&=& \int \! \frac{\cos\theta}{\cos\theta} \cdot d\theta	\\ 		&=& \int d\theta	\\ 		&=& \theta + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, \sin\theta = \nicefrac{x}{2}, por lo tanto \theta = \arcsin\left(\nicefrac{x}{2}\right). Consecuentemente,

    \begin{equation*} 		\int \! \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C 	\end{equation*}



Ejemplo 5.6.7

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx \end{equation*}


Sea u = x^2. Entonces, du = 2\,x \cdot dx. Aplicando este cambio de variable,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx  		&=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{2\,x \cdot dx}{\sqrt{1 - \left(x^2\right)^2}} \cdot dx 	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} \end{eqnarray*}

Ahora se requiere otro cambio de variable. Defina u = x^2 = \sin\theta, de manera que du = \cos\theta \cdot d\theta. Haciendo este cambio de variable, se sigue que:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx  		&=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\int \! \frac{\cos\theta\cdot d\theta}{\cos\theta}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\int d\theta	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\theta + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, u = \sin\theta = x^2, por lo tanto, \theta = \arcsin\left( x^2 \right). Así que,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{1 - x^{4}}} \cdot dx = \frac{1}{2}\,\arcsin\left( x^2 \right) + C \end{equation*}



Ejemplo 5.6.8

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} \cdot dx \end{equation*}


Sea u = x^2, de donde x = \sqrt{u}, y por lo tanto, dx = du / (2\,\sqrt{u}). Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} \cdot dx 		&=& \int \! \frac{\sqrt{u} \cdot du}{2\,\sqrt{u}\cdot \sqrt{a^4 - u^2}}	\\ 		&=& \frac{1}{2} \, \int \! \frac{du}{\sqrt{a^4 - u^2}} \end{eqnarray*}

Para aplicar la técnica de sustitución trigonométrica, defina u = a^2\,\sin\theta, de manera que du = a^2\,\cos\theta \cdot d\theta.
Aplicando este cambio de variable, se tiene:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{2} \, \int \! \frac{du}{\sqrt{a^4 - u^2}} 		&=& \frac{1}{2} \, \int \! \frac{a^2\,\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{a^4 - a^4\,\sin^2\theta}}	\\ 		&=& \frac{a^2}{2\,a^2} \, \int \! \frac{\cos\theta \cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}	\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\int d\theta	\\ 		&=& \frac{1}{2}\cdot \theta + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, u = a^2\,\sin\theta, por lo tanto, \theta = \arcsin(u / a^2) = \arcsin(x^2 / a^2). Entonces,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{\sqrt{a^4 - x^4}} \cdot dx 		= \frac{1}{2}\,\arcsin\left(\frac{x^2}{a^2}\right) + C \end{equation*}



Ejemplo 5.6.9

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}} \end{equation*}


Observe que x^2 + 2\,ax = (x + a)^2 - a^2, así que se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}}  		= \int \! \frac{dx}{\sqrt{(x + a)^2 - a^2}} \end{equation*}

Ahora defina x + a = a\,\sec\theta, de manera que dx = a\,\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta. Aplicando este cambio de variable:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}}   		&=& \int \! \frac{dx}{\sqrt{(x + a)^2 - a^2}}		\\ 		&=& \int \! \frac{a\,\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta}{\sqrt{a^2\sec^2\theta - a^2}}	\\ 		&=& \frac{a}{a}\,\int \! \frac{\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta}{\sqrt{\sec^2\theta - 1}}	\\ 		&=& \int \! \frac{\sec\theta\cdot \tan\theta \cdot d\theta}{\tan\theta}				\\ 		&=& \int \! \sec\theta \cdot d\theta	\\ 		&=& \ln\left\vert \sec\theta + \tan\theta\right\vert + \hat{C} \end{eqnarray*}

Para cambiar la expresión a términos de x, se tiene por definición, que \sec\theta = (x + a) / a. Geométricamente, considere un triángulo rectángulo, de cateto adyacente de longitud a e hipotenusa de longitud x + a, por el teorema de Pitágoras, el cateto opuesto mide: \sqrt{(x + a)^2 - a^2}. Entonces, \tan\theta = \sqrt{(x + a)^2 - a^2} / a. Consecuentemente,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2\,ax}}  		&=& \ln\left\vert \frac{x + a}{a} + \frac{\sqrt{x^2 + 2\,ax}}{a} \right\vert + \tilde{C}		\\ 		&=& \ln\left\vert x + a + \sqrt{x^2 + 2\,ax} \right\vert - \ln|a| + \tilde{C}		\\ 		&=& \ln\left\vert x + a + \sqrt{x^2 + 2\,ax} \right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.6.10

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} \end{equation*}


Observe que

    \begin{equation*} 	2\,ax - x^2 = -(x^2 - 2\,ax + a^2) + a^2  		= -(x - a)^2 + a^2  		= a^2 - (x - a)^2 \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} 		= \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}} \end{equation*}

Sea u = x - a = a \,\sin\theta. Entonces, du = dx = a\,\cos\theta \cdot d\theta. Aplicando este cambio de variable, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}} 		&=& \int \! \frac{[a + a\,\sin\theta][a\,\cos\theta\cdot d\theta]}{\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}}	\\ 		&=& \frac{a^2}{a}\int \! \frac{[1 + \sin\theta]\cos\theta\cdot d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}	\\ 		&=& a\,\int \! \frac{[1 + \sin\theta]\cos\theta\cdot d\theta}{\cos\theta}	\\ 		&=& a\,\int [1 + \sin\theta]\cdot d\theta	\\ 		&=& a\,\theta - a\,\cos\theta + \hat{C} \end{eqnarray*}

Por definición, \sin\theta = \nicefrac{(x - a)}{a}, por lo que, \theta = \arcsin\left(\nicefrac{(x - a)}{a}\right). También,

    \begin{equation*} 	\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}  		= \sqrt{1 - \left(\frac{x - a}{a}\right)^2}  		= \sqrt{\frac{a^2}{a^2} - \frac{(x - a)^2}{a^2}}  		= \frac{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}{a} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{2\,ax - x^2}}  		&=& a\,\arcsin\left(\frac{x - a}{a}\right) - a\cdot \frac{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}{a} + C		\\ 		&=& a\,\arcsin\left(\frac{x - a}{a}\right) - \sqrt{a^2 - (x - a)^2} + C \end{eqnarray*}



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