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5.5 Antiderivadas de funciones trigonométricas

Se ejemplifica el cálculo de antiderivada de funciones trigonométricas y sus potencias.

En esta sección se ejemplifica la técnica para calcular antiderivadas de funciones trigonométricas, sus productos y productos de sus potencias.

Básicamente, lo que se requiere es conocer las identidades trigonométricas y, en caso de que el integrando no sea una antiderivada inmediata, aplicar alguna identidad trigonométrica para que sea integrable de inmediato o darle la forma de poder aplicar algunas de las técnicas de integración conocidas.


Ejemplo 5.5.1

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sin(x)\,\cos(x)} \end{equation*}


Multiplique el integrando por \cos(x) / \cos(x) para obtener:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\sin(x)\,\cos(x)}  		&=& \int \! \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot dx	\\ 		&=& \int \! \frac{\sec^2(x)}{\left(\displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)} \cdot dx	\\ 		&=& \int \! \frac{\sec^2(x)}{\tan(x)} \cdot dx \end{eqnarray*}

Defina u = \tan(x), de manera que du = \sec^2(x) \cdot dx. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{\sin(x)\,\cos(x)}  		&=& \int \! \frac{\sec^2(x) \cdot dx}{\tan(x)} 	\\ 		&=& \int \! \frac{du}{u}	\\ 		&=& \ln|u| + \hat{C}		\\ 		&=& \ln\left\vert \tan(x) \right\vert + C \end{eqnarray*}

Vea otro procedimiento para calcular esta antiderivada (ejemplo 5.1.8).



Ejemplo 5.5.2

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin(3\,x) \cdot \sqrt{\cos(3\,x)} \cdot dx \end{equation*}


Defina u = \cos(3\,x), de manera que du = -3\,\sin(3\,x) \cdot dx. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin(3\,x) \cdot \sqrt{\cos(3\,x)} \cdot dx 		&=& -\frac{1}{3}\,\int \left[ \cos(3\,x) \right]^{1/2}\cdot\left(-3\,\sin(3\,x) \cdot dx\right)	\\ 		&=& - \frac{1}{3}\, \int u^{1/2} \cdot du		\\ 		&=& - \frac{1}{3}\,\frac{u^{3/2}}{(3/2)} + \hat{C}	\\ 		&=& - \frac{2}{9}\,\left[ \cos(3\,x) \right]^{3/2} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.3

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\cdot\sin^2(x)} \cdot dx \end{equation*}


Recuerde que \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x). Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{\cos(2x)}{\cos^2(x)\cdot\sin^2(x)} \cdot dx 		&=& \int \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cos^2(x)\cdot\sin^2(x)} \cdot dx	\\ 		&=& \int \! \left( \frac{1}{\sin^2(x)} - \frac{1}{\cos^2(x)} \right) \cdot dx	\\ 		&=&	\int \csc^2(x) \cdot dx - \int \sec^2(x) \cdot dx	\\ 		&=& -\cot(x) + \tan(x) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.4

Usando u = \cos(x), calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \cdot dx \end{equation*}


Como la derivada de la función coseno es el negativo de la función seno, es conveniente definir: u = \cos(x), de manera que du = -\sin(x)\cdot dx, y el diferencial se puede completar como se muestra a continuación:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} \cdot dx  		&=& - \int \! \frac{\left[- \sin(x) \cdot dx \right]}{\cos^{2}(x)}		\\ 		&=& - \int \cos^{-2}(x) \cdot \left[- \sin(x) \cdot dx \right] \end{eqnarray*}

Realizando el cambio de variable, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	- \int \cos^{-2}(x) \cdot \left[- \sin(x) \cdot dx \right] 		&=& - \int u^{-2} \cdot du		\\ 		&=& - \frac{u^{-1}}{-1} + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{u} + \hat{C}		\\ 		&=& \frac{1}{\cos(x)} + C		\\ 		&=& \sec (x) + C \end{eqnarray*}


Cuando hay productos de funciones seno y coseno, es conveniente dejar un factor lineal (con exponente 1) y aplica la identidad trigonométrica \sin^2 u + \cos^2 u = 1. Una vez hecho este paso, un cambio de variable generalmente es suficiente para calcular la antiderivada.


Ejemplo 5.5.5

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin^{m} (u)\cdot \cos u \cdot du \end{equation*}


Sea v = \sin u, entonces, dv = \cos u \cdot du. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^{m} (u)\cdot \cos u \cdot du  		&=& \int v^{m} \cdot dv		\\ 		&=& \frac{v^{m + 1}}{m + 1} + C		\\ 		&=& \frac{\sin^{m + 1}(u)}{m + 1} + C \end{eqnarray*}



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