5.5 Antiderivadas de funciones trigonométricas

Cuando el integrando incluye potencias de la función tangente, es conveniente aplicar la identidad: $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$ hasta expresar el integrando como una antiderivada inmediata.

Contenido

1 Ejemplo 5.5.11
2 Ejemplo 5.5.12
3 Ejemplo 5.5.13
4 Ejemplo 5.5.14
5 Ejemplo 5.5.15

Ejemplo 5.5.11

Calcule:

$\begin{equation*} \int \tan^{4} (u) \cdot du \end{equation*}$

Factorizando: $\tan^{4} (u) = \tan^{2} (u) \cdot \tan^{2} (u)$ , se puede aplicar la identidad trigonométrica $\tan^2 (x) + 1 = \sec^2 (x)$ , con lo que se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \int \tan^{4} (u) = \cdot du &=& \int \tan^{2} (u) \,\left(\sec^2(u) - 1\right) \cdot du \\ &=& \int \tan^{2} (u) \sec^2(u) \cdot du - \int \tan^{2} (u) \cdot du \end{eqnarray*}$

Para la primera antiderivada se puede aplicar un cambio de variable, usando $v = \tan(u)$ , de manera que $dv = \sec^{2}(u) \cdot du$ . Para la segunda, la identidad trigonométrica se aplica nuevamente: $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$ ,

$\begin{eqnarray*} \int \tan^{4}(u) \cdot du &=& \int \tan^{2} (u) \sec^2(u) \cdot du - \int \tan^{2} (u) \cdot du \\ &=& \int v^{2} \cdot dv - \int \,\left(\sec^2(u) - 1\right) \cdot du \\ &=& \frac{v^{3}}{3} - \int \sec^2(u) \cdot du + \int du \\ &=& \frac{1}{3}\,\tan^{3}(u) - \tan(u) + u + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.5.12

Calcule:

$\begin{equation*} \int \tan^{2} (u) \,\sec^{4}(u) \cdot du \end{equation*}$

En este caso, observe que

$\begin{eqnarray*} \int \tan^{2} (u) \,\sec^{4}(u) \cdot du &=& \int \tan^2(u)\,\sec^{2}(u)\,\sec^{2}(u) \cdot du \\ &=& \int \tan^2(u)\,\left[\tan^{2}(u) + 1\right]\,\sec^{2}(u) \cdot du\\ &=& \int \left[\tan^4(u) + \tan^{2}(u)\right]\,\sec^{2}(u) \cdot du \end{eqnarray*}$

Para hacer un cambio de variable sea $v = \tan(u)$ de manera que $dv = \sec^{2}(u) \cdot du$ . Entonces,

$\begin{eqnarray*} \int \tan^{2} (u) \,\sec^{4}(u) \cdot du &=& \int \left[\tan^4(u) + \tan^{2}(u)\right]\,\sec^{2}(u) \cdot du \\ &=& \int \left[v^{4} + v^2\right] \cdot dv \\ &=& \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{3}}{3} + \hat{C} \\ &=& \frac{1}{5}\,\tan^{5}(u) + \frac{1}{3}\,\tan^{3}(u) + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.5.13

Calcule:

$\begin{equation*} \int \tan^{3} (x) \,\sec^{3}(x) \cdot dx \end{equation*}$

Puesto que $\tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1$ , se puede escribir:

$\begin{eqnarray*} \tan^{3} (x) \,\sec^{3}(x) &=& \tan(x)\,\tan^{2}(x)\,\sec^{3}(x) \\ &=& \tan(x)\,\left[\sec^{2}(x) - 1\right]\,\sec^{2}(x) \, \sec(x) \\ &=& \left[\sec^{4}(x) - \sec^{2}(x)\right]\,\sec(x) \, \tan(x) \end{eqnarray*}$

Así que conviene definir $u = \sec(x)$ , de manera que $du = \sec(x) \,\tan(x) \cdot dx$ . Aplicando este cambio de variable se obtiene una antiderivada inmediata:

$\begin{eqnarray*} \int \tan^{3} (x) \,\sec^{3}(x) \cdot dx &=& \int \left[\sec^{4}(x) - \sec^{2}(x)\right]\,\sec(x) \, \tan(x) \cdot dx \\ &=& \int \left[u^{4} - u^{2}\right] \cdot du \\ &=& \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} + \hat{C} \\ &=& \frac{\sec^{5}(x)}{5} - \frac{\sec^{3}(x)}{3} + C \end{eqnarray*}$

En general, para este tipo de antiderivadas, será necesario aplicar identidades trigonométricas para expresar el integrando para que sea una antiderivada inmediata.

Ejemplo 5.5.14

Calcule:

$\begin{equation*} \int \sec^2(x)\cdot\csc^2(x) \cdot dx \end{equation*}$

Observe que $\sec^2(x)\cdot\csc^2(x) = \sec^2(x) + \csc^2(x)$ , porque

$\begin{equation*} 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) = \frac{1}{\csc^2(x)} + \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{\sec^2(x) + \csc^2(x)}{\sec^2(x)\cdot\csc^2(x)} \end{equation*}$

Para que la última fracción sea igual a 1, necesariamente, el numerador debe ser igual al denominador. Entonces,

$\begin{equation*} \int \sec^2(x)\cdot\csc^2(x) \cdot dx = \int \! \left(\sec^2(x) + \csc^2(x)\right) \cdot dx = \tan (x) - \cot(x) + C \end{equation*}$

Ejemplo 5.5.15

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx \end{equation*}$

El uso de identidades trigonométricas simplificará el integrando:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx &=& \int \!\frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot \frac{1 - \sin(x)}{1 - \sin(x)} \cdot dx \\ &=& \int \! \frac{\left[1 - \sin(x)\right]^2}{1 - \sin^2(x)} \cdot dx \\ &=& \int \! \frac{\left[1 - \sin(x)\right]^2}{\cos^2(x)} \cdot dx \end{eqnarray*}$

Ahora la expresión en el numerador se eleva al cuadrado:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx &=& \int \! \frac{1 - 2\,\sin(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \cdot dx \\ &=& \int \sec^2(x)\cdot dx - 2\int \cos^{-2}(x)\,\sin(x) \cdot dx + \int\tan^2(x)\cdot dx \end{eqnarray*}$

La primera antiderivada es inmediata. Para la segunda, si $u = \cos(x)$ , entonces, $du = -\sin(x)\cdot dx$ , y es inmediata. Para la tercera, se aplica la identidad $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ porque de esta manera se convierte en una antiderivada inmediata:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx &=& \int \sec^2(x)\cdot dx - 2\int \cos^{-2}(x)\,\sin(x) \cdot dx + \int\tan^2(x)\cdot dx\\ &=& \tan(x) + 2\int u^{-2}\cdot du + \int \left(\sec^2(x) - 1\right)\cdot dx\\ &=& \tan(x) - \frac{2}{u} + \tan(x) - x + \hat{C} \\ &=& 2\,\tan(x) - 2\,\sec(x) - x + C \end{eqnarray*}$