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5.5 Antiderivadas de funciones trigonométricas

Se ejemplifica el cálculo de antiderivada de funciones trigonométricas y sus potencias.


Cuando el integrando incluye potencias de la función tangente, es conveniente aplicar la identidad: \tan^2 x + 1 = \sec^2 x hasta expresar el integrando como una antiderivada inmediata.


Ejemplo 5.5.11

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \tan^{4} (u) \cdot du \end{equation*}


Factorizando: \tan^{4} (u) = \tan^{2} (u) \cdot \tan^{2} (u), se puede aplicar la identidad trigonométrica \tan^2 (x) + 1 = \sec^2 (x), con lo que se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int \tan^{4} (u) = \cdot du  		&=& \int \tan^{2} (u) \,\left(\sec^2(u) - 1\right) \cdot du			\\ 		&=& \int \tan^{2} (u) \sec^2(u) \cdot du -  \int \tan^{2} (u) \cdot du \end{eqnarray*}

Para la primera antiderivada se puede aplicar un cambio de variable, usando v = \tan(u), de manera que dv = \sec^{2}(u) \cdot du. Para la segunda, la identidad trigonométrica se aplica nuevamente: \tan^2 x + 1 = \sec^2 x,

    \begin{eqnarray*} 	\int \tan^{4}(u) \cdot du  		&=& \int \tan^{2} (u) \sec^2(u) \cdot du -  \int \tan^{2} (u) \cdot du	\\ 		&=& \int v^{2} \cdot dv -  \int \,\left(\sec^2(u) - 1\right) \cdot du	\\ 		&=& \frac{v^{3}}{3} -  \int \sec^2(u) \cdot du + \int  du	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\tan^{3}(u) - \tan(u) + u + C 	\end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.12

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \tan^{2} (u) \,\sec^{4}(u) \cdot du \end{equation*}


En este caso, observe que

    \begin{eqnarray*} 	\int \tan^{2} (u) \,\sec^{4}(u) \cdot du  		&=& \int \tan^2(u)\,\sec^{2}(u)\,\sec^{2}(u) \cdot du		\\ 		&=& \int \tan^2(u)\,\left[\tan^{2}(u) + 1\right]\,\sec^{2}(u) \cdot du\\ 		&=& \int \left[\tan^4(u) + \tan^{2}(u)\right]\,\sec^{2}(u) \cdot du \end{eqnarray*}

Para hacer un cambio de variable sea v = \tan(u) de manera que dv = \sec^{2}(u) \cdot du. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \tan^{2} (u) \,\sec^{4}(u) \cdot du 		&=& \int \left[\tan^4(u) + \tan^{2}(u)\right]\,\sec^{2}(u) \cdot du		\\ 		&=& \int \left[v^{4} + v^2\right] \cdot dv	\\ 		&=& \frac{v^{5}}{5} + \frac{v^{3}}{3} + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{1}{5}\,\tan^{5}(u) + \frac{1}{3}\,\tan^{3}(u) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.13

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \tan^{3} (x) \,\sec^{3}(x) \cdot dx \end{equation*}


Puesto que \tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1, se puede escribir:

    \begin{eqnarray*} 	\tan^{3} (x) \,\sec^{3}(x)  		&=& \tan(x)\,\tan^{2}(x)\,\sec^{3}(x) \\ 		&=& \tan(x)\,\left[\sec^{2}(x) - 1\right]\,\sec^{2}(x) \, \sec(x)	\\ 		&=& \left[\sec^{4}(x) - \sec^{2}(x)\right]\,\sec(x) \, \tan(x) \end{eqnarray*}

Así que conviene definir u = \sec(x), de manera que du = \sec(x) \,\tan(x) \cdot dx. Aplicando este cambio de variable se obtiene una antiderivada inmediata:

    \begin{eqnarray*} 	\int \tan^{3} (x) \,\sec^{3}(x) \cdot dx 		&=& \int \left[\sec^{4}(x) - \sec^{2}(x)\right]\,\sec(x) \, \tan(x) \cdot dx	\\ 		&=& \int \left[u^{4} - u^{2}\right] \cdot du	\\ 		&=& \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} + \hat{C}	\\ 		&=& \frac{\sec^{5}(x)}{5} - \frac{\sec^{3}(x)}{3} + C 	\end{eqnarray*}


En general, para este tipo de antiderivadas, será necesario aplicar identidades trigonométricas para expresar el integrando para que sea una antiderivada inmediata.


Ejemplo 5.5.14

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sec^2(x)\cdot\csc^2(x) \cdot dx \end{equation*}


Observe que \sec^2(x)\cdot\csc^2(x) = \sec^2(x) + \csc^2(x), porque

    \begin{equation*} 	1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) = \frac{1}{\csc^2(x)} + \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{\sec^2(x) + \csc^2(x)}{\sec^2(x)\cdot\csc^2(x)} \end{equation*}

Para que la última fracción sea igual a 1, necesariamente, el numerador debe ser igual al denominador. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int \sec^2(x)\cdot\csc^2(x) \cdot dx = \int \! \left(\sec^2(x) + \csc^2(x)\right) \cdot dx = \tan (x) - \cot(x) + C \end{equation*}



Ejemplo 5.5.15

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx \end{equation*}


El uso de identidades trigonométricas simplificará el integrando:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx  		&=& \int \!\frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot \frac{1 - \sin(x)}{1 - \sin(x)} \cdot dx 	\\ 		&=& \int \! \frac{\left[1 - \sin(x)\right]^2}{1 - \sin^2(x)} \cdot dx	\\ 		&=& \int \! \frac{\left[1 - \sin(x)\right]^2}{\cos^2(x)} \cdot dx \end{eqnarray*}

Ahora la expresión en el numerador se eleva al cuadrado:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx  		&=& \int \! \frac{1 - 2\,\sin(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \cdot dx		\\ 		&=& \int \sec^2(x)\cdot dx - 2\int \cos^{-2}(x)\,\sin(x) \cdot dx + \int\tan^2(x)\cdot dx \end{eqnarray*}

La primera antiderivada es inmediata. Para la segunda, si u = \cos(x), entonces, du = -\sin(x)\cdot dx, y es inmediata. Para la tercera, se aplica la identidad \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 porque de esta manera se convierte en una antiderivada inmediata:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{1 - \sin(x)}{1 + \sin(x)} \cdot dx  		&=& \int \sec^2(x)\cdot dx - 2\int \cos^{-2}(x)\,\sin(x) \cdot dx + \int\tan^2(x)\cdot dx\\ 		&=& \tan(x) + 2\int u^{-2}\cdot du + \int \left(\sec^2(x) - 1\right)\cdot dx\\ 		&=& \tan(x) - \frac{2}{u} + \tan(x) - x + \hat{C}		\\ 		&=& 2\,\tan(x) - 2\,\sec(x) - x + C \end{eqnarray*}



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