Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

5.5 Antiderivadas de funciones trigonométricas

Se ejemplifica el cálculo de antiderivada de funciones trigonométricas y sus potencias.


Cuando los exponentes son uno par (m) y el otro es impar (n), debe escribir el impar (n) como (n - 1) + 1 para que n - 1 sea par y se puede aplicar la identidad \sin^2 u + \cos^2 u = 1 dejando una función trigonométrica con el exponente 1 y el integrando quede listo para aplicar un cambio variable.


Ejemplo 5.5.6

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin^{4} (u)\cdot \cos^{5} (u) \cdot du \end{equation*}


Escriba: \cos^{5}(u) = \cos^4(u) \cdot \cos u. Por otra parte,

    \begin{eqnarray*} 	\cos^{4}(u) &=& \left(\cos^{2}(u)\right)^2 		\\ 		&=& \left(1 - \sin^{2}(u)\right)^2 		\\ 		&=& 1 - 2\,\sin^{2}(u) + \sin^{4}(u) \end{eqnarray*}

Así,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^{4} (u)\cdot \cos^{5} (u) \cdot du 		&=& \int \sin^{4}(u)\,\left(1 - 2\,\sin^2 (u) + \sin^{4} (u)\right) \cdot \cos u \cdot du		\\ 		&=& \int \left(\sin^{4}(u) - 2\,\sin^6 (u) + \sin^{8} (u)\right) \cdot \left[\cos u \cdot du\right] \end{eqnarray*}

Para cambiar de variable, defina w = \sin u. De aquí, dw = \cos u \cdot du. Por lo que el diferencial está completo y la antiderivada es inmediata:

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^{4} (u)\cdot \cos^{5} (u) \cdot du 		&=& \int \left(w^{4} - 2\,w^{6} + w^{8}\right) \cdot dw		\\ 		&=& \frac{w^{5}}{5} - \frac{2}{7}\,w^{7} + \frac{w^{9}}{9} + \hat{C}		\\ 		&=& \frac{\sin^{5}(u)}{5} - \frac{2}{7}\,\sin^{7}(u) + \frac{\sin^{9}(u)}{9} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.7

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin^4(x)\,\cos^3(x)\cdot dx \end{equation*}


Usando la identidad trigonométrica: \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x), el integrando se reduce:

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^4(x)\,\cos^3(x)\cdot dx  		&=& \int \sin^4(x)\,\cos^2(x)\,\cos(x)\cdot dx 			\\ 		&=& \int \sin^4(x)\,\left[1 - \sin^2(x)\right]\,\cos(x)\cdot dx 	\\ 		&=& \int \left[\sin^4(x) - \sin^6(x)\right]\,\cos(x)\cdot dx 		 \end{eqnarray*}

Sea u = \sin(x), de manera que, du = \cos(x)\cdot dx, y la antiderivada es inmediata:

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^4(x)\,\cos^3(x)\cdot dx  		&=& \int \left[\sin^4(x) - \sin^6(x)\right]\,\cos(x)\cdot dx 	\\ 		&=& \int \left[u^4 - u^6\right]\cdot du			\\ 		&=& \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7} + \hat{C}			\\ 		&=& \frac{1}{5}\,\sin^{5}(x) - \frac{1}{7}\,\sin^{7}(x) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.8

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin^{3} (x) \,\cos^{5}(x) \cdot dx \end{equation*}


Observe que:

    \begin{eqnarray*} 	\sin^{3}(x) \,\cos^{5}(x)  		&=& \sin(x)\,\sin^{2}(x) \,\cos^{5}(x)		\\ 		&=& \sin(x)\,\left[1 - \cos^{2}(x)\right] \,\cos^{5}(x)\\ 		&=& \left[\cos^{5}(x) - \cos^{7}(x)\right]\,\sin(x) \end{eqnarray*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \sin^{3} (x) \,\cos^{5}(x) \cdot dx 		= \int \left[\cos^{5}(x) - \cos^{7}(x)\right]\,\sin(x) \cdot dx \end{equation*}

Ahora, defina u = \cos(x), de manera que du = -\sin(x) \cdot dx. Aplicando este cambio de variable se obtiene:

    \begin{equation*} 	\int \sin^{3} (x) \,\cos^{5}(x) \cdot dx 		= -\int \left(\cos^{5}(x) - \cos^{7}(x)\right)\,[-\sin(x) \cdot dx] 		= -\frac{\cos^{6}(x)}{6} + \frac{\cos^{8}(x)}{8} + C \end{equation*}


Con frecuencia es conveniente aplicar alguna de las identidades:

    \begin{equation*} 	\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} 	\qquad\qquad\text{ o bien }\qquad\qquad 	\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \end{equation*}

para transformar el integrando en una antiderivada inmediata.


Ejemplo 5.5.9

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \sin^{4} (u) \cdot du \end{equation*}


Puesto que \sin^{2} (u) = \left(1 - \cos(2\,u)\right)/2, se sigue que

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^{4}(u) \cdot du 		&=& \int \left(\frac{1 - \cos(2\,u)}{2}\right)^2 \cdot du		\\ 		&=& \frac{1}{4} \, \int \left[1 - 2\,\cos(2\,u) + \cos^2 (2\,u)\right] \cdot du	\\ 		&=& \frac{1}{4} \, \int du - \frac{2}{4} \, \,\int \cos(2\,u) \cdot du + \frac{1}{4} \, \int \cos^2 (2\,u) \cdot du	\\ 		&=& \frac{1}{4}\, u - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \, \sin(2\,u) + \frac{1}{4} \, \int \cos^2 (2\,u) \cdot du \end{eqnarray*}

Para la última antiderivada, aplique la identidad trigonométrica: \cos^2(x) = \left(1 + \cos(2\,x)\right) / 2, como se muestra a continuación:

    \begin{eqnarray*} 	\int \cos^2 (2\,u) \cdot du 		&=& \frac{1}{2} \, \int \left[1 + \cos(4\,u)\right] \cdot du		\\ 		&=& \frac{1}{2} \, \int du + \frac{1}{2} \, \int \cos(4\,u) \cdot du		\\ 		&=& \frac{1}{2}\,u + \frac{1}{8} \, \sin(4\,u) + \hat{C} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int \sin^{4} u \cdot du 		&=& \frac{1}{4}\, u - \frac{1}{4}\,\sin(2\,u)  			+ \frac{1}{4} \,\left[ \frac{1}{2}\,u + \frac{1}{8} \, \sin(4\,u) \right] + C	\\ 		&=& \frac{1}{4}\, u - \frac{1}{4} \, \sin(2\,u)  			+ \frac{1}{8} \, u + \frac{1}{32} \, \sin(4\,u) + C		\\ 		&=& \frac{3}{8}\, u - \frac{1}{4} \, \sin(2\,u) + \frac{1}{32} \, \sin(4\,u) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.5.10

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)} \end{equation*}


Observe que

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)}  		&=& \frac{\sin^2(x) + \cos^{2}(x)}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)}	\\ 		&=& \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)} + \frac{\cos^{2}(x)}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)}	\\ 		&=& \frac{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} + \frac{1}{\sin(x)\,\cos(x)}	\\ 		&=& \frac{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} + \frac{\sin^2(x) + \cos^{2}(x)}{\sin(x)\,\cos(x)}\\ 		&=& \frac{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}	\\ 		&=& \sin(x)\,\cos^{-3}(x) + \tan(x) + \cot(x) \end{eqnarray*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)} 		= \int \! \left[\sin(x)\,\cos^{-3}(x) + \tan(x) + \cot(x) \right] \cdot dx \end{equation*}

Para el primer término, sea u = \cos(x), de modo que du = - \sin (x) \cdot dx, y aplique un cambio de variable. Los otros dos términos corresponden a antiderivadas inmediatas. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{\sin(x)\,\cos^{3}(x)} = \frac{1}{2\,\cos^{2}(x)}  			+ \ln\left\vert \sec(x) \right\vert + \ln\left\vert \sin(x) \right\vert + C 			= \frac{1}{2\,\cos^{2}(x)}  + \ln\left\vert \tan(x) \right\vert + C \end{equation*}



VER TODO Add a note
Añadir tu comentario
A+
X