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5.4 Antiderivación por fracciones parciales

Se ejemplifica la técnica de fracciones parciales para calcular antiderivadas.

Suponga que se requiere calcular:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(1 + x^3)} \end{equation*}

Definir u = 1 + x^3, no ayuda, ya que es imposible completar el diferencial en el numerador. Además, no existe una fórmula directa para calcular su antiderivada. Por lo tanto, se requiere expresar este integrando de manera equivalente, de modo que se conozca una antiderivada inmediata para la nueva expresión.


Ejemplo 5.4.1

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(1 + x^3)} \end{equation*}


Considere que el denominador de la fracción algebraica que aparece en el integrando sugiere que esta fracción se puede expresar como suma de dos fracciones, en donde una (la primera) tiene al denominador x y la segunda al denominador 1 + x^3. Observe que se puede escribir:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{x\,(1 + x^3)}  		&=& \frac{1 + x^3 - x^3}{x\,(1 + x^3)} 		\\ 		&=& \frac{1 + x^3}{x\,(1 + x^3)}  - \frac{x^3}{x\,(1 + x^3)} 		\\ 		&=& \frac{1}{x}  - \frac{x^2}{1 + x^3}  \end{eqnarray*}

Entonces, se tiene que

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(1 + x^3)}  		&=& \int \!\! \left(\frac{1}{x} - \frac{x^2}{1 + x^3}\right)\cdot dx	\\ 		&=& \int \! \frac{dx}{x} - \int \! \frac{x^2\cdot dx}{1 + x^3} \end{eqnarray*}

La primera integral es inmediata. La segunda se puede calcular con un cambio de variable definiendo u = 1 + x^3, porque así, du = 3\,x^2 \cdot dx. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(1 + x^3)}  		&=& \int \! \frac{dx}{x} - \frac{1}{3}\int \! \frac{3\,x^2\cdot dx}{1 + x^3}	\\ 		&=& \ln |x| - \frac{1}{3}\cdot \ln\left\vert 1 + x^3\right\vert + C		\\ 		&=& \frac{1}{3}\ln \left\vert \frac{x^3}{1 + x^3} \right\vert + C \end{eqnarray*}


Esta misma estrategia, pero de manera más general, es la que se utiliza para poder expresar un integrando que consiste en una fracción algebraica: se escribe como la suma de fracciones, de manera que cada una de esas fracciones sea una integral inmediata o que pueda calcularse con una estrategia ya conocida.


Ejemplo 5.4.2

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(1 + x^3)^2} \end{equation*}


Observe que

    \begin{equation*} 	\frac{1}{x\,\left(1 + x^3\right)^2}  		= \frac{1 + x^3 - x^3}{x\,\left(1 + x^3\right)^2} 	 		= \frac{1 + x^3}{x\,\left(1 + x^3\right)^2} - \frac{x^3}{x\,\left(1 + x^3\right)^2}	 		= \frac{1}{x\,\left(1 + x^3\right)} - \frac{x^2}{\left(1 + x^3\right)^2} \end{equation*}

Por lo que se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(x^3 + 1)^2} 		= \int \! \left(\frac{1}{x\,\left(1 + x^3\right)} - \frac{x^2}{\left(1 + x^3\right)^2} \right) \cdot dx	 		= \int \! \frac{dx}{x\,\left(1 + x^3\right)} - \int \! \frac{x^2 \cdot dx}{\left(1 + x^3\right)^2}	 \end{equation*}

La primera antiderivada ya se calculó en el ejemplo previo. Para la segunda, conviene definir u = 1 + x^3, porque entonces, du = 3\,x^2 \cdot dx, y el diferencial se puede completar para aplicar la regla de la potencia. Entonces,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x\,(x^3 + 1)^2}  		= \frac{1}{3}\ln \left\vert \frac{x^3}{x^3 + 1} \right\vert  			+ \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1 + x^3} 			+ C 		= \frac{1}{3}\ln \left\vert \frac{x^3}{x^3 + 1} \right\vert + \frac{1}{3\,\left(1 + x^3\right)} + C \end{equation*}


El procedimiento utilizado en los ejemplos anteriores no es aplicable en todos los casos, o al menos, no es fácil de llevar a cabo siempre. La técnica sistemática para calcular las antiderivadas aplicando este artificio generalmente se divide en los siguientes cuatro casos:

  • [I] Los factores en el denominador son todos lineales y ninguno se repite.
  • [II] Los factores en el denominador son todos lineales y al menos uno se repite.
  • [III] Al menos un factor en el denominador es cuadrático y no se repite.
  • [IV] Al menos un factor en el denominador es cuadrático y se repite.

Caso I: factores lineales no repetidos

En este caso, exprese el integrando como la suma de tantas fracciones algebraicas como factores que haya en el denominador, dejando cada factor lineal como denominador y suponiendo que el correspondiente numerador es un valor constante desconocido. Sume estas fracciones y calcule el valor de cada uno de los valores constantes de cada numerador.

Una vez que se encuentran todas las incógnitas, exprese el integrando como una suma de fracciones y calcule la antiderivada correspondiente a cada una de ellas.


Ejemplo 5.4.3

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{16 - x^2} \end{equation*}


Factorizando el denominador se obtiene: 16 - x^2 = (4 + x)(4 - x). Entonces,

    \begin{equation*} 	\frac{1}{16 - x^2} = \frac{A}{4 + x} + \frac{B}{4 - x}	 		= \frac{A\,(4 - x) + B\,(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} \end{equation*}

Como los denominadores de las fracciones son iguales, es necesario que los numeradores sean iguales (para todos los valores de x) para obtener una expresión equivalente para el integrando.

Ignorando los denominadores, se requiere obtener:

    \begin{equation*} 	1 = A\,(4 - x) + B\,(4 + x) \end{equation*}

Si x = -4, entonces, 8\,A = 1, y esto implica: A = 1/8. Por otra parte, si x = 4, entonces 8\,B = 1 y también, B = 1/8. La representación en fracciones parciales del integrando es:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{16 - x^2} = \int \! \left(\frac{1/8}{4 + x} + \frac{1/8}{4 - x} \right) \cdot dx	 		= \frac{1}{8}\,\int \! \frac{dx}{4 + x} + \frac{1}{8}\,\int \! \frac{dx}{4 - x}  \end{equation*}

La primera antiderivada es inmediata. Para la segunda se define u = 4 - x, para que du = -dx. Se puede completar el diferencial multiplicando por -1 dentro de la integral y por -1 afuera:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{16 - x^2}  		&=& \frac{1}{8}\,\int \! \frac{dx}{4 + x} - \frac{1}{8}\,\int \! \frac{-dx}{4 - x} 		\\ 		&=& \frac{1}{8}\,\ln|4 + x| - \frac{1}{8}\,\ln|4 - x| + C		\\ 		&=& \frac{1}{8}\,\ln\left\vert \frac{4 + x}{4 - x} \right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.4

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x^2 + 6\,x + 8} \end{equation*}


Factorizando el denominador se obtiene: x^2 + 6\,x + 8 = (x + 2)(x + 4). De manera que

    \begin{equation*} 	\frac{1}{x^2 + 6\,x + 8} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}  		= \frac{A\,(x + 4) + B\,(x + 2)}{(x + 2)(x + 4)} \end{equation*}

Como los denominadores son iguales, para que las fracciones sean iguales, se requiere que los numeradores sean iguales para cualquier valor de x. Es decir,

    \begin{equation*} 	1 = A\,(x + 4) + B\,(x + 2) \end{equation*}

Si x = -2, entonces 1 = 2\,A, por lo que A = 1/2. Y si x = -4, entonces 1 = -2\,B, lo cual significa que B = -1/2. Así que,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x^2 + 6\,x + 8}  		= \int \! \left(\frac{1/2}{x + 2} + \frac{-1/2}{x + 4}\right) \cdot dx 		= \frac{1}{2}\,\ln|x + 2| - \frac{1}{2}\,\ln|x + 4| + C 		= \frac{1}{2}\,\ln\left\vert \frac{x + 2}{x + 4}\right\vert + C \end{equation*}



Ejemplo 5.4.5

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{3\,x}{x^2 - x - 2}\cdot dx \end{equation*}


El denominador del integrando se puede factorizar como: x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2). Así que se puede escribir:

    \begin{equation*} 	\frac{3\,x}{x^2 - x - 2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2} 		= \frac{A\,(x - 2) + B\,(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} \end{equation*}

Como los denominadores son iguales, para que las fracciones sean iguales se requiere que 3\,x = A\,(x - 2) + B\,(x + 1) para cualquier valor de x. Si x = -1, entonces -3 = -3\,A, por lo que A = 1. También, Si x = 2, entonces, 6 = 3\,B, y esto implica que B = 2. Así que,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{3\,x}{x^2 - x - 2}\cdot dx 		&=& \int\!\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2}\right) \cdot dx	\\ 		&=& \ln|x + 1| + 2\,\ln|x - 2| + C		\\ 		&=& \ln\left\vert (x + 1)(x - 2)^2\right\vert + C \end{eqnarray*}



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