Caso IV: factores cuadráticos repetidos
Este último caso considera polinomios primos cuadráticos como factores que se repiten en el denominador. De manera semejante al caso II, se escriben tantas fracciones como el valor del exponente del polinomio cuadrático primo repetido.
Ejemplo 5.4.18
Calcule:
Para expresar el integrando como una suma de fracciones parciales, sea
Si , entonces
. También, si
, entonces
Si , entonces,
Si , entonces
Si , entonces,
Y si , entonces
La solución de este sistema de ecuaciones lineales es: ,
,
,
,
, y
.
Por lo tanto,
Por lo que se puede escribir:
Separando en tres antiderivadas, el resultado da:
Para la antiderivada que queda pendiente, es conveniente usar la siguiente sustitución: sea , de manera que
. Usando este cambio de variable,
Ahora se debe escribir el resultado en términos de . Para ello, recuerde que
. Con esta información, se puede dibujar un triángulo rectángulo de catetos
y
. La longitud de la hipotenusa se puede calcular con el teorema de Pitágoras:
.
Y puesto que , a partir de la figura se pueden calcular fácilmente
y
(ver junto al triángulo). También, puesto que
, se sigue que
. Entonces,
Y la solución al problema inicial es:
Ejercicios: Vea la página 134 del documento al que se puede acceder aquí.
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