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5.4 Antiderivación por fracciones parciales

Se ejemplifica la técnica de fracciones parciales para calcular antiderivadas.


Caso III: factores cuadráticos no repetidos

Cuando el denominador de una fracción algebraica incluye en el denominador un polinomio cuadrático primo (que no se puede factorizar como producto de dos polinomios lineales con coeficientes reales) que aparece solo una vez, entonces el numerador será un polinomio lineal de la forma A\,x + B (en su fracción correspondiente en la expresión de las fracciones parciales.)


Ejemplo 5.4.14

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x + 2}{(x + 3)(x^{2} + 1)} \cdot dx \end{equation*}


Suponga que existen valores constantes A, B y C tales que

    \begin{equation*} 	\frac{x + 2}{(x + 3)(x^{2} + 1)}  		= \frac{A}{x + 3} + \frac{B\,x + C}{x^{2} + 1}		%\\ 		= \frac{A\,(x^{2} + 1) + (B\,x + C)(x + 3)}{(x + 3)(x^{2} + 1)} \end{equation*}

Ahora, si x = -3, entonces -1 = 10\,A, de manera que A = -1 / 10. Si x = 0, entonces 2 = A + 3\,C, de donde: C = 7 / 10. Y también, si x = 1, entonces 3 = 2\,A + 4\,(B + C). Así que, B = 1 / 10. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x + 2}{(x + 3)(x^{2} + 1)} 	 		&=& \int \! \left[\frac{-1/10}{x + 3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{x + 7}{x^{2} + 1}\right] \cdot dx	\\ 		&=& -\frac{1}{10}\,\ln\left\vert x + 3 \right\vert  				+ \frac{1}{10}\,\int \! \frac{x + 7}{x^2 + 1} \cdot dx		\\ 		&=& -\frac{1}{10}\,\ln\left\vert x + 3 \right\vert  			+ \frac{1}{10}\,\int \! \frac{x \cdot dx}{x^{2} + 1} + \frac{7}{10} \, \int \! \frac{dx}{x^{2} + 1}		\\ 		&=& -\frac{1}{20}\cdot(2)\,\ln\left\vert x + 3 \right\vert  				+ \frac{1}{20}\,\int \! \frac{2\,x \cdot dx}{x^{2} + 1} + \frac{7}{10}\,\arctan(x)		\\ 		&=& -\frac{1}{20}\,\ln\left\vert (x + 3)^{2} \right\vert  				+ \frac{1}{20}\,\ln\left\vert x^{2} + 1\right\vert + \frac{7}{10}\,\arctan(x)	+ C		\\ 		&=& \frac{1}{20}\,\ln\left\vert \frac{x^{2} + 1}{(x + 3)^{2}}\right\vert + \frac{7}{10}\,\arctan(x)	+ C		 \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.15

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{x^4 - 16}  \end{equation*}


Factorizando el denominador, x^{4} - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x + 2)(x - 2)(x^{2} + 4). Ahora, suponga que existen valores constantes A, B, C y D, de modo que:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{x^4 - 16}  		&=& \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C\,x + D}{x^{2} + 4}		\\ 		&=& \frac{A\,(x - 2)(x^{2} + 4) + B\,(x + 2)(x^{2} + 4) + (C\,x + D)(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)(x^{2} + 4)} \end{eqnarray*}

Si x = 2, entonces 1 = 32\,B, lo que implica que B = 1/32. Si x = -2, entonces 1 = -32\,A, por lo que, A = - 1/32. Si x = 0, entonces 1 = -8\,A + 8\,B - 4\,D, así, D = -1/8. Y si x = 1, Entonces 1 = -5\,A + 15\,B -3\, (C + D). A partir de esto, C = 0. Consecuentemente,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{x^4 - 16}  		&=& \int \! \frac{dx}{(x + 2)(x - 2)(x^{2} + 4)}	\\ 		&=& \int \! \left[ \frac{-1/32}{x + 2} + \frac{1/32}{x - 2} + \frac{-1/8}{x^{2} + 4} \right] \cdot dx	\\ 		&=& - \frac{1}{32}\,\ln\left\vert x + 2 \right\vert + \frac{1}{32}\,\ln\left\vert x - 2 \right\vert  			- \frac{1}{16}\,\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C			\\ 		&=& \frac{1}{32}\,\ln\left\vert \frac{x - 2}{x + 2} \right\vert - \frac{1}{16}\,\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.16

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x^2}{x^4 + x^2 - 2}\cdot dx \end{equation*}


La factorización del denominador del integrando da:

    \begin{equation*} 	x^4 + x^2 - 2  		= \left( x^2 + 2 \right) \left( x^2 - 1 \right) 		= \left( x^2 + 2 \right) (x + 1) (x - 1) \end{equation*}

En este caso, teniendo un denominador cuadrático, el numerador de la fracción correspondiente es un polinomio lineal:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{x^2}{x^4 + x^2 - 2}  		&=& \frac{A\,x + B}{x^2 + 2} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}	\\ 		&=& \frac{(A\,x + B)(x + 1)(x - 1) + C\,\left(x^2 + 2\right)(x - 1) + D\,\left(x^2 + 2\right)(x + 1)}{\left( x^2 + 2 \right) (x + 1) (x - 1)} \end{eqnarray*}

Como los denominadores ya son iguales, también se requiere que los numeradores sean iguales para cualquier valor de x para que las fracciones sean equivalentes. Entonces, se requiere:

    \begin{equation*} 	x^2 = (A\,x + B)(x + 1)(x - 1) + C\,\left(x^2 + 2\right)(x - 1) + D\,\left(x^2 + 2\right)(x + 1) \end{equation*}

Si x = 1, entonces 1 = 6\,D, y de esto se obtiene: D = 1/6. Si x = -1, entonces, 1 = -6\,C, por lo que C = -1/6. Si x = 0, entonces, 0 = -B - 2(-1/6) + 2\,(1/6), de donde B = 2/3. Finalmente, si x = 2, se sigue que:

    \begin{equation*} 	4 = \left(2\,A + \frac{2}{3}\right)(3)(1) - \left(\frac{1}{6}\right)(6)(1) + \left(\frac{1}{6}\right)(6)(3)	 		\quad\Rightarrow\quad 		2 = 4\,A + 2 		\quad\Rightarrow\quad 		A = 0 \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x^2}{x^4 + x^2 - 2}\cdot dx 		= \int \left(\frac{2/3}{x^2 + 2} + \frac{-1/6}{x + 1} + \frac{1/6}{x - 1} \right)	\cdot dx \end{equation*}

Estas son antiderivadas inmediatas:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x^2}{x^4 + x^2 - 2}\cdot dx 		&=& \frac{\sqrt{2}}{3}\,\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{6}\,\ln|x + 1| + \frac{1}{6}\,\ln|x - 1| + C	\\ 		&=& \frac{\sqrt{2}}{3}\,\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{6}\,\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.17

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x \cdot dx}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)} \end{equation*}


Suponga que

    \begin{equation*} 	\frac{x}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)} = \frac{A\,x + B}{x^2 + 4} + \frac{C\,x + D}{x^2 + 9}  		= \frac{(A\,x + B)(x^2 + 9) + (C\,x + D)(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)} \end{equation*}

Entonces, se requiere tener x = (A\,x + B)(x^2 + 9) + (C\,x + D)(x^2 + 4), para que ambas fracciones sean equivalentes. Sustituya x = 0 para obtener: 0 = 9\,B + 4\,D.

Evaluando en x = 1 se obtiene:

    \begin{equation*} 	1 = 10\,A + 10\,B + 5\,C + 5\,D \end{equation*}

Evaluando en x = -1 se obtiene:

    \begin{equation*} 	-1 = - 10\,A + 10\,B - 5\,C + 5\,D \end{equation*}

Y la evaluación en x = 2, da:

    \begin{equation*} 	2 = 26\,A + 13\,B + 16\,C + 8\,D \end{equation*}

Al resolver el sistema de cuatro ecuaciones lineales para las cuatro incógnitas, se obtienen los valores numéricos de A, B, C y D: A = 1/5, B = 0, C = -1 / 5, y D = 0. Así que la expresión se puede escribir como:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x \cdot dx}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)} =  		\int \left[\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{x^2 + 9}\right] \cdot dx \end{equation*}

La antiderivada es fácil de calcular mediante un cambio de variable:

    \begin{equation*} 	\int \frac{x \cdot dx}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)}  		= \frac{1}{10}\,\ln\left\vert x^2 + 4\right\vert - \frac{1}{10}\,\ln\left\vert x^2 + 9\right\vert + C 		= \frac{1}{10}\,\ln\left\vert \frac{x^2 + 4}{x^2 + 9} \right\vert + C \end{equation*}



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