Caso II: factores lineales repetidos
Cuando el denominador incluye un factor lineal repetido, digamos, , se escriben
fracciones, cada una con un numerador constante, y en el denominador el factor
, donde el parámetro
va desde
hasta
, como se indica a continuación:
y se deben calcular los valores de las incógnitas utilizando el mismo enfoque que en el caso I.
Ejemplo 5.4.11
Calcule:
De acuerdo con lo antes mencionado,
Sumando las fracciones algebraicas, se tiene:
Como los denominadores ya son iguales, para que las fracciones sean equivalentes, se requiere que los numeradores sean iguales para cualquier . Luego, si
, entonces
, y esto implica que
. Si
, entonces
, por lo que,
. Finalmente, si
, se sigue que,
. Es decir,
. Consequentemente,
Un error común entre estudiantes es aplicar la fórmula al calcular la antiderivada
. Lo correcto es aplicar la regla de la potencia.
Ejemplo 5.4.12
Calcule:
Para escribir el integrando como fracciones parciales, sea
Para que las fracciones sean equivalentes, dado que los denominadores ya son iguales, se requiere que los numeradores sean iguales.
Teniendo esto en cuenta, si , entonces
. También, si
, entonces
. Y si
, entonces
, lo cual implica que
. Por lo tanto,
Ejemplo 5.4.13
Calcule:
Supongamos que existen valores constantes , de modo que:
Si , entonces
. Si
, entonces
. Y si
, entonces
. De aquí que,
. Por lo tanto,
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