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5.4 Antiderivación por fracciones parciales

Se ejemplifica la técnica de fracciones parciales para calcular antiderivadas.


Caso II: factores lineales repetidos

Cuando el denominador incluye un factor lineal repetido, digamos, (p\,x - k)^{m}, se escriben m fracciones, cada una con un numerador constante, y en el denominador el factor (p\,x - k)^{i}, donde el parámetro i va desde i = 1 hasta i = m, como se indica a continuación:

    \begin{equation*} \frac{A_{1}}{p\,x - k} + \frac{A_{2}}{(p\,x - k)^{2}} + \frac{A_{3}}{(p\,x - k)^{3}} + \cdots + \frac{A_{m}}{(p\,x - k)^{m}} \end{equation*}

y se deben calcular los valores de las incógnitas A_{1}, A_{2}, A_{3}, \cdots, A_{m} utilizando el mismo enfoque que en el caso I.

Ejemplo 5.4.11

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{dx}{(x - 1)^2(x - 9)} \end{equation*}


De acuerdo con lo antes mencionado,

    \begin{equation*} \frac{1}{(x - 1)^2(x - 9)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 9} \end{equation*}

Sumando las fracciones algebraicas, se tiene:

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{(x - 1)^2(x - 9)} &=& \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 9} \\ &=& \frac{A\,(x - 1)(x - 9) + B\,(x - 9) + C\,(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x - 9)} \end{eqnarray*}

Como los denominadores ya son iguales, para que las fracciones sean equivalentes, se requiere que los numeradores sean iguales para cualquier x. Luego, si x = 1, entonces - 8\,B = 1, y esto implica que B = - 1 / 8. Si x = 9, entonces 64\,C = 1, por lo que, C = 1 / 64. Finalmente, si x = 2, se sigue que, -7\,A - 7\,B + C = 1. Es decir, A = -1/64. Consequentemente,

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{(x - 1)^2(x - 9)} &=& \int \left[\frac{-1/64}{x - 1} + \frac{-1/8}{(x - 1)^2} + \frac{1/64}{x - 9}\right] \cdot dx \\ &=& -\frac{1}{64}\,\ln\left\vert x - 1 \right\vert + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{64}\,\ln\left\vert x - 9\right\vert + C \end{eqnarray*}

Un error común entre estudiantes es aplicar la fórmula \int dv/v al calcular la antiderivada \int B\cdot dx / (x - 1)^2. Lo correcto es aplicar la regla de la potencia.

Ejemplo 5.4.12

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{x}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx \end{equation*}


Para escribir el integrando como fracciones parciales, sea

    \begin{eqnarray*} \frac{x}{(x + 4)(x + 3)^2} &=& \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2} \\ &=& \frac{A\,(x + 3)^2 + B\,(x + 3)(x + 4) + C\,(x + 4)}{(x + 4)(x + 3)^2} \end{eqnarray*}

Para que las fracciones sean equivalentes, dado que los denominadores ya son iguales, se requiere que los numeradores sean iguales.
Teniendo esto en cuenta, si x = -3, entonces C = -3. También, si x = -4, entonces A = -4. Y si x = 0, entonces 0 = 9\,A + 12\,B + 4\,C, lo cual implica que B = 4. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx &=& \int \left[\frac{-4}{x + 4} + \frac{4}{x + 3} + \frac{-3}{(x + 3)^2} \right] \cdot dx \\ &=& -4\,\ln\left\vert x + 4 \right\vert + 4\,\ln\left\vert x + 3\right\vert + \frac{3}{x + 3} + C \\ &=& 4\,\ln \left\vert \frac{x + 3}{x + 4}\ \right\vert + \frac{3}{x + 3} + C \end{eqnarray*}

Ejemplo 5.4.13

Calcule:

    \begin{equation*} \int \! \frac{2\,x - 7}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx \end{equation*}


Supongamos que existen valores constantes A, B, C, de modo que:

    \begin{eqnarray*} \frac{2\,x - 7}{(x + 4)(x + 3)^{2}} &=& \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^{2}} \\ &=& \frac{A\,(x + 3)^{2} + B\,(x + 4)(x + 3) + C\,(x + 4)}{(x + 4)(x + 3)^{2}} \end{eqnarray*}

Si x = -4, entonces A = -15. Si x = -3, entonces C = -13. Y si x = 0, entonces -7 = 9\,A + 12\,B + 4\,C. De aquí que, B = 15. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} \int \! \frac{2\,x - 7}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx &=& \int \left[\frac{-15}{x + 4} + \frac{15}{x + 3} + \frac{-13}{(x + 3)^{2}}\right] \dot dx \\ &=& -15\,\ln\left\vert x + 4 \right\vert + 15\,\ln\left\vert x + 3 \right\vert + \frac{13}{x + 3} + C \\ &=& 15\,\ln\left\vert \frac{x + 3}{x + 4}\right\vert + \frac{13}{x + 3} + C \end{eqnarray*}


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