5.4 Antiderivación por fracciones parciales

Contenido

1 Caso II: factores lineales repetidos
2 Ejemplo 5.4.11
3 Ejemplo 5.4.12
4 Ejemplo 5.4.13

Caso II: factores lineales repetidos

Cuando el denominador incluye un factor lineal repetido, digamos, $(p\,x - k)^{m}$ , se escriben $m$ fracciones, cada una con un numerador constante, y en el denominador el factor $(p\,x - k)^{i}$ , donde el parámetro $i$ va desde $i = 1$ hasta $i = m$ , como se indica a continuación:

$\begin{equation*} \frac{A_{1}}{p\,x - k} + \frac{A_{2}}{(p\,x - k)^{2}} + \frac{A_{3}}{(p\,x - k)^{3}} + \cdots + \frac{A_{m}}{(p\,x - k)^{m}} \end{equation*}$

y se deben calcular los valores de las incógnitas $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \cdots, A_{m}$ utilizando el mismo enfoque que en el caso I.

Ejemplo 5.4.11

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{dx}{(x - 1)^2(x - 9)} \end{equation*}$

De acuerdo con lo antes mencionado,

$\begin{equation*} \frac{1}{(x - 1)^2(x - 9)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 9} \end{equation*}$

Sumando las fracciones algebraicas, se tiene:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x - 1)^2(x - 9)} &=& \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 9} \\ &=& \frac{A\,(x - 1)(x - 9) + B\,(x - 9) + C\,(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x - 9)} \end{eqnarray*}$

Como los denominadores ya son iguales, para que las fracciones sean equivalentes, se requiere que los numeradores sean iguales para cualquier $x$ . Luego, si $x = 1$ , entonces $- 8\,B = 1$ , y esto implica que $B = - 1 / 8$ . Si $x = 9$ , entonces $64\,C = 1$ , por lo que, $C = 1 / 64$ . Finalmente, si $x = 2$ , se sigue que, $-7\,A - 7\,B + C = 1$ . Es decir, $A = -1/64$ . Consequentemente,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{(x - 1)^2(x - 9)} &=& \int \left[\frac{-1/64}{x - 1} + \frac{-1/8}{(x - 1)^2} + \frac{1/64}{x - 9}\right] \cdot dx \\ &=& -\frac{1}{64}\,\ln\left\vert x - 1 \right\vert + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{64}\,\ln\left\vert x - 9\right\vert + C \end{eqnarray*}$

Un error común entre estudiantes es aplicar la fórmula $\int dv/v$ al calcular la antiderivada $\int B\cdot dx / (x - 1)^2$ . Lo correcto es aplicar la regla de la potencia.

Ejemplo 5.4.12

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{x}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx \end{equation*}$

Para escribir el integrando como fracciones parciales, sea

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x + 4)(x + 3)^2} &=& \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2} \\ &=& \frac{A\,(x + 3)^2 + B\,(x + 3)(x + 4) + C\,(x + 4)}{(x + 4)(x + 3)^2} \end{eqnarray*}$

Para que las fracciones sean equivalentes, dado que los denominadores ya son iguales, se requiere que los numeradores sean iguales.
Teniendo esto en cuenta, si $x = -3$ , entonces $C = -3$ . También, si $x = -4$ , entonces $A = -4$ . Y si $x = 0$ , entonces $0 = 9\,A + 12\,B + 4\,C$ , lo cual implica que $B = 4$ . Por lo tanto,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx &=& \int \left[\frac{-4}{x + 4} + \frac{4}{x + 3} + \frac{-3}{(x + 3)^2} \right] \cdot dx \\ &=& -4\,\ln\left\vert x + 4 \right\vert + 4\,\ln\left\vert x + 3\right\vert + \frac{3}{x + 3} + C \\ &=& 4\,\ln \left\vert \frac{x + 3}{x + 4}\ \right\vert + \frac{3}{x + 3} + C \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5.4.13

Calcule:

$\begin{equation*} \int \! \frac{2\,x - 7}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx \end{equation*}$

Supongamos que existen valores constantes $A, B, C$ , de modo que:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\,x - 7}{(x + 4)(x + 3)^{2}} &=& \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^{2}} \\ &=& \frac{A\,(x + 3)^{2} + B\,(x + 4)(x + 3) + C\,(x + 4)}{(x + 4)(x + 3)^{2}} \end{eqnarray*}$

Si $x = -4$ , entonces $A = -15$ . Si $x = -3$ , entonces $C = -13$ . Y si $x = 0$ , entonces $-7 = 9\,A + 12\,B + 4\,C$ . De aquí que, $B = 15$ . Por lo tanto,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2\,x - 7}{(x + 4)(x + 3)^2} \cdot dx &=& \int \left[\frac{-15}{x + 4} + \frac{15}{x + 3} + \frac{-13}{(x + 3)^{2}}\right] \dot dx \\ &=& -15\,\ln\left\vert x + 4 \right\vert + 15\,\ln\left\vert x + 3 \right\vert + \frac{13}{x + 3} + C \\ &=& 15\,\ln\left\vert \frac{x + 3}{x + 4}\right\vert + \frac{13}{x + 3} + C \end{eqnarray*}$