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5.4 Antiderivación por fracciones parciales

Se ejemplifica la técnica de fracciones parciales para calcular antiderivadas.



Ejemplo 5.4.6

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{(x - a)(x - b)}  	\label{eq:14Pg289N3} \end{equation*}


Considerando la fracción algebraica, es necesario calcular los valores de A y B de modo que

    \begin{equation*} 	\frac{1}{(x - a)(x - b)}  		= \frac{A}{x - a} + \frac{1}{x - b} 		= \frac{A\,(x - b) + B\,(x - a)}{(x - a)(x - b)} \end{equation*}

Como los denominadores ya son iguales, se requiere:

    \begin{equation*} 	1 = A\,(x - b) + B\,(x - a) \end{equation*}

Si x = a, se sigue que A\,(a - b) = 1, por lo que, A = 1 / (a - b). Si x = b, entonces B\,(b - a) = 1, así que, B = 1 / (b - a). Consecuentemente,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{(x - a)(x - b)}  		&=& \int\left(\frac{1/(a - b)}{x - a} + \frac{1/(b - a)}{x - b}\right) \cdot dx	\\ 		&=& \frac{1}{a - b}\,\ln\left\vert x - a\right\vert - \frac{1}{a - b}\,\ln\left\vert x - b\right\vert + C	 \\ 		&=& \frac{1}{a - b}\,\ln\left\vert \frac{x - a}{x - b}\right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.7

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{(x - a)(b - x)}  	\label{eq:14Pg289N4} \end{equation*}


En este caso, es necesario calcular A y B, de modo que para cualquier valor de x:

    \begin{equation*} 	\frac{1}{(x - a)(b - x)}  		= \frac{A}{x - a} + \frac{1}{b - x} 		= \frac{A\,(b - x) + B\,(x - a)}{(x - a)(b - x)} \end{equation*}

Como los denominadores son iguales, se requiere que para todos los valores de x, se cumpla la igualdad:

    \begin{equation*} 	1 = A\,(b - x) + B\,(x - a) \end{equation*}

Si x = a, se sigue que A\,(b - a) = 1, así que, A = 1 / (b - a). Si x = b, entonces B\,(b - a) = 1, por lo tanto, B = 1 / (b - a). Como consecuencia,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{(x - a)(b - x)}  		&=& \int\left(\frac{1/(b - a)}{x - a} + \frac{1/(b - a)}{b - x}\right) \cdot dx	\\ 		&=& \frac{1}{b - a}\,\ln\left\vert x - a\right\vert - \frac{1}{b - a}\,\ln\left\vert b - x\right\vert + C	 \\ 		&=& \frac{1}{b - a}\,\ln\left\vert \frac{x - a}{b - x}\right\vert + C \end{eqnarray*}

Tenga en cuenta que para calcular la antiderivada de la segunda fracción del integrando, se utiliza un cambio de variable. Si v = b - x, entonces, dv = -dx, por lo tanto, se requiere completar el diferencial multiplicando por -1 dentro del símbolo integral y por ese mismo factor fuera de él. Esto provoca un cambio de signo en el resultado cuando se obtiene la antiderivada correspondiente.



Ejemplo 5.4.8

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{(x - 1)(x + 4)}  \end{equation*}


Considerando la fracción del integrando, es necesario calcular los valores de A y B que satisfacen:

    \begin{equation*} 	\frac{x}{(x - 1)(x + 4)}  		= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 4} 		= \frac{A\,(x + 4) + B\,(x - 1)}{(x - 1)(x + 4)} \end{equation*}

Teniendo en cuenta solo los numeradores de la primera y la última fracción, se requiere que, para cualquier valor real de x, se cumpla lo siguiente:

    \begin{equation*} 	x = A\,(x + 4) + B\,(x - 1) \end{equation*}

Si x = 1, entonces, 1 = 5\,A, por lo que A = 1/5. Si x = -4, entonces, -4 = -5\,B, por lo tanto, B = 4/5. Así que,

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{x \cdot dx}{(x - 1)(x + 4)}  		&=& \int \left(\frac{1/5}{x - 1} + \frac{4/5}{x + 4}\right) \cdot dx	\\ 		&=& \frac{1}{5}\,\ln\left\vert x - 1\right\vert + \frac{4}{5}\,\ln\left\vert x + 4\right\vert + C	\\ 		&=& \frac{1}{5}\,\ln\left\vert x - 1\right\vert + \frac{1}{5}\,\ln\left\vert (x + 4)^{4}\right\vert + C	\\ 		&=& \frac{1}{5}\,\ln\left\vert (x - 1)(x + 4)^{4}\right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.9

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \! \frac{dx}{(x - 1)(x - 2)(x + 4)}  \end{equation*}


Suponga que es posible escribir la fracción en el integrando como la siguiente suma de fracciones:

    \begin{equation*} 	\frac{1}{(x - 1)(x - 2)(x + 4)}  		= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 4} \end{equation*}

Se requiere calcular los valores de A, B y C que hacen que la igualdad sea verdadera. Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\frac{1}{(x - 1)(x - 2)(x + 4)}  		&=& \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 4}		\\ 		&=& \frac{A\,(x - 2)(x + 4) + B\,(x - 1)(x + 4) + C\,(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)(x + 4)}	 \end{eqnarray*}

Como los denominadores son iguales, para tener ambas fracciones iguales entre sí, es necesario obtener:

    \begin{equation*} 	1 = A\,(x - 2)(x + 4) + B\,(x - 1)(x + 4) + C\,(x - 1)(x - 2) \end{equation*}

para todos los valores de x. Si x = 1, entonces 1 = - 5\,A. Esto es, A = - 1 / 5. Si x = 2, entonces 1 = 6\,B, por lo que, B = 1 / 6. También, si x = -4, entonces 1 = 30\,C. Así, C = 1 / 30. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\frac{1}{(x - 1)(x - 2)(x + 4)}  		= \frac{-1 / 5}{x - 1} + \frac{1 / 6}{x - 2} + \frac{1 / 30}{x + 4} \end{equation*}

Y el problema puede reescribirse como:

    \begin{eqnarray*} 	\int \! \frac{dx}{(x - 1)(x - 2)(x + 4)}  		&=& \int \! \left(\frac{-1 / 5}{x - 1} + \frac{1 / 6}{x - 2} + \frac{1 / 30}{x + 4}\right) \cdot dx		\\ 		&=& -\frac{1}{5}\,\ln\left\vert x - 1\right\vert + \frac{1}{6}\,\ln\left\vert x - 2\right\vert   				+ \frac{1}{30}\,\ln\left\vert x + 4 \right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.4.10

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int \frac{3\,x - 4}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} \cdot dx \end{equation*}


Suponga que existen valores A, B y C tales que,

    \begin{equation*} 	\frac{3\,x - 4}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)}  		= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\frac{3\,x - 4}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)}  		&=& \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1}			\\ 		&=& \frac{A\,(x - 2)(x + 1) + B\,(x - 1)(x + 1) + C\,(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} \end{eqnarray*}

Como los denominadores son iguales, para que la fracción inicial sea igual a la última, es necesario que sus numeradores sean iguales. Por lo tanto, para cualquier valor de x, es necesario tener:

    \begin{equation*} 	3\,x - 4 = A\,(x - 2)(x + 1) + B\,(x - 1)(x + 1) + C\,(x - 1)(x - 2) \end{equation*}

Sea x = 1, entonces, -1 = -2\,A, por lo que A = 1/2. Si x = 2, entonces, 2 = 3\,B, lo que implica que, B = 2/3. Y si x = -1, entonces, -7 = 6\,C, por lo que C = -7/6. Consecuentemente,

    \begin{equation*} 	\frac{3\,x - 4}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)}  		= \frac{1/2}{x - 1} + \frac{2/3}{x - 2} + \frac{-7/6}{x + 1}	 \end{equation*}

Y el problema puede expresarse como:

    \begin{eqnarray*} 	\int \frac{3\,x - 4}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} \cdot dx  		&=& \int \!\left( \frac{1/2}{x - 1} + \frac{2/3}{x - 2} + \frac{-7/6}{x + 1}	 \right) \cdot dx		\\ 		&=& \frac{1}{2}\,\ln\left\vert x - 1\right\vert + \frac{2}{3}\,\ln\left\vert x - 2\right\vert  				- \frac{7}{6}\,\ln\left\vert x + 1\right\vert + C \end{eqnarray*}



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