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5.3 Integración por partes

Se ejemplifica el uso de la técnica de integración por partes para calcular antiderivadas.

En la unidad de formación 4.9 Integración por partes se deduce la siguiente fórmula:

    \begin{equation*} 	\int u\cdot dv = u\cdot v - \int v\cdot du \end{equation*}

En cierto modo, esta fórmula es el proceso inverso de aplicar la regla del producto y a menudo se usa para calcular la antiderivada de funciones cuando corresponden al producto de dos funciones. Cuando se emplea esta fórmula, se dice que se está aplicando la técnica de «integración por partes».

Para aplicar esta fórmula, la estrategia consiste en definir la variable u igual a la función cuya derivada, al reemplazarla en la última antiderivada (la que aparece a la derecha de la igualdad en la fórmula de integración por partes), se convierta en una más fácil de calcular que la inicial.


Ejemplo 5.3.1

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x\cdot e^{x} \cdot dx 	\label{eq:xporexponencial} \end{equation*}


Defina u = x, de manera que, du = dx. También, dv = e^{x} \cdot dx implica v = e^{x}. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	\int x\cdot e^{x} \cdot dx  		&=& x \cdot e^{x} - \int e^{x} \cdot dx 	\\ 		&=& x \cdot e^{x} - e^{x} + C				\\ 		&=& e^{x}\cdot (x - 1) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.3.2

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x \cdot \sin(x) \cdot dx  	\label{eq:xSinx} \end{equation*}


Defina u = x, de manera que du = dx. También, dv = \sin(x)\cdot dx, y su antiderivada es, v = -\cos(x). Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int x \cdot \sin(x) \cdot dx  		&=& -x \cdot \cos(x) - \int [- \cos(x)] \cdot dx	\\ 		&=& -x \cdot \cos(x) + \sin (x) + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.3.3

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x\,\sec^2(x) \cdot dx \end{equation*}


Sea u = x, de manera que du = dx, al igual que dv = \sec^2(x) \cdot dx, y también, v = \tan(x). Aplicando la técnica de integración por partes, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int x\,\sec^2(x) \cdot dx  		&=& x\,\tan(x) - \int \tan(x) \cdot dx	\\ 		&=&  x\,\tan(x) + \ln\left\vert \cos(x) \right\vert + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.3.4

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x\cdot\ln(x) \cdot dx \end{equation*}


Sea u = \ln (x), de manera que, du = dx / x, y también, dv = x\cdot dx. De aquí que v = x^2 / 2. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\int x\cdot\ln(x) \cdot dx  		&=& \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{dx}{x}		\\ 		&=& \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{1}{2}\int x \cdot dx 				\\ 		&=& \frac{x^2}{2}\,\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \end{eqnarray*}



Ejemplo 5.3.5

Calcule:

    \begin{equation*} 	\int x^2\,\sin(x) \cdot dx \end{equation*}


Defina u = x^2, al igual que dv = \sin(x), de manera que du = 2\,x\cdot dx, y también v = -\cos(x). Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\int x^2\,\sin(x) \cdot dx = -x^2\,\cos(x) - 2\,\int x \cdot \cos(x)\cdot dx \end{equation*}

Para calcular esta segunda antiderivada es necesario volver a aplicar la técnica de integración por partes. En este caso, defina u_{2} = x, y también, dv_2 = \cos(x) \cdot dx. De aquí, du_{2} = dx, así como v_{2} = \sin(x). Entonces,

    \begin{eqnarray*} 	\int x^2\,\sin(x) \cdot dx  		&=& -x^2\,\cos(x) + 2\,\int x \cdot \cos(x)\cdot dx	\\ 		&=& -x^2\,\cos(x) + 2\,\left[ x\,\sin(x) - \int \sin(x) \cdot dx \right]	\\ 		&=& -x^2\,\cos(x) + 2\,x\,\sin(x) + 2\,\cos(x) + C	\\ 		&=& \left(2 -x^2\right)\,\cos(x) + 2\,x\,\sin(x) + C \end{eqnarray*}



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