En la unidad de formación 4.9 Integración por partes se deduce la siguiente fórmula:
En cierto modo, esta fórmula es el proceso inverso de aplicar la regla del producto y a menudo se usa para calcular la antiderivada de funciones cuando corresponden al producto de dos funciones. Cuando se emplea esta fórmula, se dice que se está aplicando la técnica de «integración por partes».
Para aplicar esta fórmula, la estrategia consiste en definir la variable igual a la función cuya derivada, al reemplazarla en la última antiderivada (la que aparece a la derecha de la igualdad en la fórmula de integración por partes), se convierta en una más fácil de calcular que la inicial.
Ejemplo 5.3.1
Calcule:
Defina , de manera que,
. También,
implica
. Por lo tanto,
Ejemplo 5.3.2
Calcule:
Defina , de manera que
. También,
, y su antiderivada es,
. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:
Ejemplo 5.3.3
Calcule:
Sea , de manera que
, al igual que
, y también,
. Aplicando la técnica de integración por partes, se obtiene:
Ejemplo 5.3.4
Calcule:
Sea , de manera que,
, y también,
. De aquí que
. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, se obtiene:
Ejemplo 5.3.5
Calcule:
Defina , al igual que
, de manera que
, y también
. Por lo tanto,
Para calcular esta segunda antiderivada es necesario volver a aplicar la técnica de integración por partes. En este caso, defina , y también,
. De aquí,
, así como
. Entonces,
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